Use o teorema da seção 17 para mostrar que
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{z^{2}+1}{z-1}=\infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o teorema de limite na seção 17, que
\lim_{z\to\infty}\frac{z^{2}+1}{z-1}=\infty.
O conteúdo é definição de limite ao infinito: dizer que f(z)\to\infty quando z\to\infty significa que, para todo R>0, existe M>0 tal que \lvert z\rvert > M implica \bigl\lvert f(z)\bigr\rvert > R.

Passo 2

Começamos aplicando desigualdades triangulares a
\frac{z^{2}+1}{z-1}.
Usamos
\lvert z^{2}+1\rvert \ge \lvert z\rvert^{2}-1 \quad\text{e}\quad \lvert z-1\rvert \le \lvert z\rvert +1.

Passo 3

Com isso obtemos
\left\lvert\frac{z^{2}+1}{z-1}\right\rvert \;=\; \frac{\lvert z^{2}+1\rvert}{\lvert z-1\rvert} \;\ge\; \frac{\lvert z\rvert^{2}-1}{\lvert z\rvert+1} \;=\; \frac{(\lvert z\rvert-1)(\lvert z\rvert+1)}{\lvert z\rvert+1} \;=\; \lvert z\rvert - 1.

Passo 4

Seja um R>0 arbitrário. Basta escolher
M = R + 1.
Então, sempre que \lvert z\rvert > M, segue que
\left\lvert\frac{z^{2}+1}{z-1}\right\rvert \;\ge\;\lvert z\rvert - 1 \;>\; M - 1 \;=\; R.
Isto satisfaz a definição de f(z)\to\infty quando z\to\infty.

Resposta

\displaystyle \infty

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