Use o teorema da seção 17 para mostrar que
\lim _{z \rightarrow 1} \frac{1}{(z-1)^{3}}=\infty

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{z\to1}\frac{1}{(z-1)^{3}}=\infty
usando o Teorema da Seção 17, que diz que f(z)\to\infty quando z\to a se, e somente se, para todo R>0 existe \delta>0 tal que
0<|z-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(z)|>R.
Aqui temos a=1 e f(z)=1/(z-1)^{3}.

Passo 2

Vamos estimar o módulo de f(z). Para z\neq1,
|f(z)|=\left|\frac{1}{(z-1)^{3}}\right|=\frac{1}{|z-1|^{3}}.

Passo 3

Dado um R>0, escolha
\delta = R^{-1/3}.
Então, sempre que 0<|z-1|<\delta, temos
|f(z)| = \frac{1}{|z-1|^{3}} > \frac{1}{\delta^{3}} = R.
Isso mostra, pela definição do Teorema da Seção 17, que
\lim_{z\to1}\frac{1}{(z-1)^{3}}=\infty.

Resposta

\infty

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