Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
sumn=1^infty 1(3 n+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série infinita usando o teste da integral! A questão pede para verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais e séries e como elas se relacionam no teste da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente de uma função contínua, positiva e decrescente convergir, então a série também converge.

Passo 3

Vamos transformar a série em uma função contínua para aplicar o teste. Consideramos integral1^infty 1(3x+1)^2 , dx . Agora, precisamos calcular a integral de de 1 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja integral4^infty 1u^2 cdot du3 = 13 integral4^infty u^-2 , du , então 13 [ -1u ]4^infty = 13 ( 0 - ( -14 ) ) = 112 ou . Quando , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Substituindo, temos:
Integrando:
Como a integral resulta em um valor finito ( ), isso significa que a série também converge pelo teste da integral.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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