Use o Teste da Integral para determinar se a série
1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/15 + ...
é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos analisar a série . O assunto aqui é séries infinitas, e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge (tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a série de uma forma geral. Observando os denominadores, vemos que eles aumentam de 4 em 4 começando de 3. Então, podemos escrever a série como:
Aqui, começa em 1 e vai até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos definir a função que representa os termos da série. Seja:
Para aplicar o Teste da Integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para .

Passo 4

Vamos checar se atende aos critérios:
  • Positiva: Para , , então .
  • Contínua: A função é contínua para todo onde , o que é verdade para .
  • Decrescente: A derivada de é negativa:
Então, é decrescente.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Resolvendo a integral:
Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
À medida que vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 7

Pelo Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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