Use o Teste da Integral para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O assunto aqui é séries infinitas, e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge (tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a série de uma forma geral. Observando os denominadores, vemos que eles aumentam de 4 em 4 começando de 3. Então, podemos escrever a série como:
Aqui,
começa em 1 e vai até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos definir a função que representa os termos da série. Seja:
Para aplicar o Teste da Integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 4
Vamos checar se
atende aos critérios:
- Positiva: Para
, , então . - Contínua: A função
é contínua para todo onde , o que é verdade para . - Decrescente: A derivada de
é negativa:
Então,
é decrescente.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Resolvendo a integral:
Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
À medida que
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.
Passo 7
Pelo Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.