Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da integral, comparando a soma com
é convergente ou divergente usando o teste da integral.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da integral, comparando a soma com
para uma função
que seja positiva, contínua e decrescente em
.
Passo 2
Definimos
- Verificamos que
e contínua em . - Calculamos a derivada para checar decrescimento:
logo
é decrescente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da integral, estudando a convergência de
Fazemos a troca de variável
, então
, e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Calculamos essa integral imprópria:
Avaliada de
até
:
que é um valor finito. Portanto, a integral converge.
Pelo teste da integral, como
converge, segue que
também converge.
Resposta
A série converge.