Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+2)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{3/2}}
é convergente ou divergente usando o teste da integral.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da integral, comparando a soma com
\int_{1}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x
para uma função f(x) que seja positiva, contínua e decrescente em [1,\infty).

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{1}{(x+2)^{3/2}}\,,\quad x\ge1.
  1. Verificamos que f(x)>0 e contínua em [1,\infty).
  2. Calculamos a derivada para checar decrescimento:
f'(x) = -\frac{3}{2}\,(x+2)^{-5/2} <0\quad\text{para }x\ge1,
logo f é decrescente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da integral, estudando a convergência de
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^{3/2}}\,\mathrm{d}x.
Fazemos a troca de variável u = x+2, então \mathrm{d}u=\mathrm{d}x, e quando x=1 temos u=3, quando x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^{3/2}}\,\mathrm{d}x = \int_{3}^{\infty} u^{-3/2}\,\mathrm{d}u.
Calculamos essa integral imprópria:
\int u^{-3/2}\,\mathrm{d}u = \int u^{-\tfrac32}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2\,u^{-1/2}.
Avaliada de u=3 até u\to\infty:
\Bigl[-2\,u^{-1/2}\Bigr]_{3}^{\infty} = \bigl(0\bigr)-\bigl(-2\cdot3^{-1/2}\bigr) = \frac{2}{\sqrt{3}},
que é um valor finito. Portanto, a integral converge.
Pelo teste da integral, como
\int_{1}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x
converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{3/2}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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