Use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar o teste da raiz para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é o teste da raiz, que é uma ferramenta importante no estudo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita
. Para aplicá-lo, calculamos o limite:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da raiz à nossa série específica. Aqui,
. Vamos calcular o limite
:
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 4
Agora, avaliamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Portanto,
.
Resposta
Como
, o teste da raiz é inconclusivo para determinar a convergência ou divergência da série.