Use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
sumn=1^infty(1-e^-n)^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é o teste da raiz, que é uma ferramenta importante no estudo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita L = limn to infty raiz[n]|an| . Para aplicá-lo, calculamos o limite:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz à nossa série específica. Aqui, L = limn to infty raiz[n](1 - e^-n)^n . Vamos calcular o limite raiz[n](1 - e^-n)^n = 1 - e^-n :
Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 4

Agora, avaliamos o limite de limn to infty (1 - e^-n) = 1 - 0 = 1 quando tende ao infinito:
Portanto, .

Resposta

Como , o teste da raiz é inconclusivo para determinar a convergência ou divergência da série.

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