Use o teste da razão para estudar a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty (-3)^n(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona o teste da razão e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. Matematicamente, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = (-3)^n(2n+1)! :
an+1 = (-3)^n+1(2(n+1)+1)! = (-3)^n+1(2n+3)!
Então, | an+1an | = | (-3)^n+1(2n+3)! cdot (2n+1)!(-3)^n | = | (-3) cdot (2n+1)!(2n+3)! | será:
(2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!
Vamos calcular a razão | an+1an | = | -3(2n+3)(2n+2) | = 3(2n+3)(2n+2) :
Simplificando os fatoriais:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 3(2n+3)(2n+2) tende ao infinito:
L = limn to infty 34n^2 = 0
Observando o denominador, quando fica muito grande, cresce como . Então:
Como , pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão.

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