Use Transformada de Laplace para calcular as integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} t e^{-2 t} \cos t d t

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} t e^{-2t}\cos t \, dt.
Informações dadas que vou usar diretamente:
\text{limites: }0\text{ a }\infty,\qquad\text{integrando: }t e^{-2t}\cos t.
Também foi explicitamente pedido no enunciado para usar a transformada de Laplace, então essa instrução faz parte dos dados do problema.

Passo 2

Definição e ideia principal (mini-aula): o que é a transformada de Laplace?
A transformada de Laplace de uma função f(t) (definida para t\ge0) é a função F(s) dada por
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável real (ou complexa) com valores para os quais a integral converge. Aqui t é a variável de integração (tempo, por exemplo) e s é o parâmetro onde avaliamos a transformada. A ideia que vou usar é reconhecer a integral do enunciado como uma transformada de Laplace de alguma função avaliada em s=2.

Passo 3

Identificação direta com Laplace: perceba que a integral tem o fator e^{-2t}. Pela definição,
\int_{0}^{\infty} t e^{-2t}\cos t \, dt = \mathcal{L}\{t\cos t\}(2),
ou seja, é a transformada de Laplace da função f(t)=t\cos t avaliada em s=2. Vou então calcular \mathcal{L}\{t\cos t\}(s) em forma simbólica e depois substituir s=2.

Passo 4

Propriedade útil (mini-aula): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Explicação curta do porquê: diferenciando sob o sinal de integral,
\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s} (e^{-st}) f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st} f(t)\,dt = -\mathcal{L}\{t f(t)\}(s),
desde que seja válido trocar derivação e integral (condição satisfeita para funções com decaimento exponencial como aqui). Portanto \mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-F'(s).

Passo 5

Calcular primeiro \mathcal{L}\{\cos t\}(s) (mini-aula e derivação conhecida): a transformada da função \cos(at) é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
No nosso caso a=1, portanto
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.
Aqui s é a variável da transformada; essa expressão é válida para \Re(s)>0 (condição de convergência).

Passo 6

Aplicar a propriedade da multiplicação por t: como \mathcal{L}\{t\cos t\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{\cos t\}(s), vamos derivar a função \dfrac{s}{s^{2}+1}. Calcule a derivada passo a passo:
\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+1}\right) = \frac{(1)(s^{2}+1)-s(2s)}{(s^{2}+1)^{2}} = \frac{s^{2}+1-2s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}} = \frac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}.
Logo
\mathcal{L}\{t\cos t\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+1}\right)=-\frac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 7

Agora avalio essa expressão em s=2 (é o valor que aparece no integrando como e^{-2t}):
\mathcal{L}\{t\cos t\}(2)=\frac{2^{2}-1}{(2^{2}+1)^{2}}=\frac{4-1}{(4+1)^{2}}=\frac{3}{5^{2}}=\frac{3}{25}.

Resposta

\dfrac{3}{25}

Exercícios relacionados