Use Transformada de Laplace para calcular as integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
Informações dadas que vou usar diretamente:
Também foi explicitamente pedido no enunciado para usar a transformada de Laplace, então essa instrução faz parte dos dados do problema.
Passo 2
Definição e ideia principal (mini-aula): o que é a transformada de Laplace?
A transformada de Laplace de uma função (definida para
) é a função
dada por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável real (ou complexa) com valores para os quais a integral converge. Aqui
é a variável de integração (tempo, por exemplo) e
é o parâmetro onde avaliamos a transformada. A ideia que vou usar é reconhecer a integral do enunciado como uma transformada de Laplace de alguma função avaliada em
.
Passo 3
Identificação direta com Laplace: perceba que a integral tem o fator
. Pela definição,
ou seja, é a transformada de Laplace da função
avaliada em
. Vou então calcular
em forma simbólica e depois substituir
.
Passo 4
Propriedade útil (mini-aula): se
então
Explicação curta do porquê: diferenciando sob o sinal de integral,
desde que seja válido trocar derivação e integral (condição satisfeita para funções com decaimento exponencial como aqui). Portanto
.
Passo 5
Calcular primeiro
(mini-aula e derivação conhecida): a transformada da função
é
No nosso caso
, portanto
Aqui
é a variável da transformada; essa expressão é válida para
(condição de convergência).
Passo 6
Aplicar a propriedade da multiplicação por
: como
, vamos derivar a função
. Calcule a derivada passo a passo:
Logo
Passo 7
Agora avalio essa expressão em
(é o valor que aparece no integrando como
):