Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}-6 y=e^{4 t}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - 6\,y = e^{4t},\quad y(0)=2,
que é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para usar a transformada de Laplace, precisamos das condições iniciais y(0) e y'(0).

Passo 2

Ao aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados, escrevemos
\mathcal{L}\{y''\}(s) - 6\,\mathcal{L}\{y\}(s) = \mathcal{L}\{e^{4t}\}(s).
Sabemos que
\mathcal{L}\{y''\}(s) = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
\mathcal{L}\{y\}(s) = Y(s),
\mathcal{L}\{e^{4t}\}(s) = \frac{1}{s-4}.
Substituindo y(0)=2 e deixando y'(0) como incógnita a, temos
\bigl(s^2Y(s) - 2s - a\bigr) - 6Y(s) = \frac{1}{s-4}.
Isto leva a
Y(s)\,(s^2 - 6) = \frac{1}{s-4} + 2s + a.
Sem o valor numérico de a=y'(0), não podemos isolar Y(s) de forma única.

Passo 3

Como falta a condição inicial y'(0), a constante a permanece indeterminada e a solução não fica determinada de modo único. Não é admissível assumir um valor para y'(0) que não esteja dado.

Resposta

Não é possível obter solução única porque falta a condição inicial y'(0).

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