Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e também como lidar com a função Heaviside
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:
Substituindo na equação:
Passo 3
Simplificamos a equação:
Isolamos
:
Passo 4
Agora, separamos os termos:
Usamos a propriedade da Transformada de Laplace que envolve atraso no tempo, que é:
Passo 5
Aplicamos a Transformada inversa para encontrar
:
Sabemos que:
Passo 6
Calculamos as inversas das frações restantes:
Para
:
Usando frações parciais, obtemos:
Então,
Para
:
Novamente, usando frações parciais:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 8
Simplificamos a expressão final:
Resposta
A solução da equação diferencial é: