Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
y'' + y = t/2 * m(t - 6), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e também como lidar com a função Heaviside .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:
Substituindo na equação:

Passo 3

Simplificamos a equação:
Isolamos :

Passo 4

Agora, separamos os termos:
Usamos a propriedade da Transformada de Laplace que envolve atraso no tempo, que é:

Passo 5

Aplicamos a Transformada inversa para encontrar :
Sabemos que:

Passo 6

Calculamos as inversas das frações restantes:
Para :
Usando frações parciais, obtemos:
Então,
Para :
Novamente, usando frações parciais:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Simplificamos a expressão final:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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