use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' + 6y' - 7y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos saber como aplicar a transformada em cada termo da equação e usar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que:
Aqui, é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a transformada na equação diferencial:
Isso se torna:

Passo 4

Vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Para achar , isolamos:

Passo 7

Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da transformada:
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Para encontrar os valores de e , escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Substituindo e de volta na expressão de :

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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