Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}=y-2 z \\\ \frac{d z}{d t}=5 y-z\end{array}, y(0)=-1\right. e z(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
\begin{cases} \displaystyle \frac{d y}{d t} = y - 2\,z,\\[6pt] \displaystyle \frac{d z}{d t} = 5\,y - z, \end{cases}
com condições iniciais y(0)=-1 e z(0)=2. Vamos usar a transformada de Laplace, que converte derivadas em termos algébricos via \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0) e \mathcal{L}\{z'\}(s)=s\,Z(s)-z(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e Z(s)=\mathcal{L}\{z(t)\}.]

Passo 2

Aplique \mathcal{L} em cada equação. Para \tfrac{d y}{d t}=y-2z:
s\,Y(s)-y(0)=Y(s)-2\,Z(s) \quad\Longrightarrow\quad s\,Y(s)+1=Y(s)-2\,Z(s).
Para \tfrac{d z}{d t}=5y-z:
s\,Z(s)-z(0)=5\,Y(s)-Z(s) \quad\Longrightarrow\quad s\,Z(s)-2=5\,Y(s)-Z(s).

Passo 3

Reescrevendo em forma de sistema algébrico em Y(s) e Z(s):
(s-1)\,Y(s)+2\,Z(s)=-1, \qquad -5\,Y(s)+(s+1)\,Z(s)=2.

Passo 4

Use a Regra de Cramer. O determinante principal é
\Delta = \begin{vmatrix} s-1 & 2 \\[3pt] -5 & s+1 \end{vmatrix} =(s-1)(s+1)-2\cdot(-5)=s^2+9.
O determinante para Y(s) é
\Delta_Y= \begin{vmatrix} -1 & 2 \\[3pt] 2 & s+1 \end{vmatrix} =-1\,(s+1)-2\cdot2=-s-5,
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Y(s)=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=\frac{-s-5}{s^2+9}.
O determinante para Z(s) é
\Delta_Z= \begin{vmatrix} s-1 & -1 \\[3pt] -5 & 2 \end{vmatrix} =2(s-1)-(-1)(-5)=2s-7,
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Z(s)=\frac{\Delta_Z}{\Delta}=\frac{2s-7}{s^2+9}.]

Passo 5

Para inverter Y(s), escreva
Y(s)=\frac{-s}{s^2+9}-\frac{5}{s^2+9}.
Como \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+a^2}\}=\cos(at) e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{a}{s^2+a^2}\}=\sin(at) com a=3, temos
y(t)=-\cos(3t)-\frac{5}{3}\,\sin(3t).

Passo 6

Para inverter Z(s), coloque
Z(s)=\frac{2s}{s^2+9}-\frac{7}{s^2+9},
e aplicando as mesmas transformadas inversas obtemos
z(t)=2\,\cos(3t)-\frac{7}{3}\,\sin(3t).

Resposta

y(t)=-\cos(3t)-\frac{5}{3}\sin(3t), \qquad z(t)=2\cos(3t)-\frac{7}{3}\sin(3t).

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