Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
q -> p

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão logicamente equivalente à implicação (q \to p) que use apenas os conectivos “e” (\land) e negação (\neg).
Informações dadas: a fórmula inicial é (q \to p). Não há outras restrições além de usar somente \land e \neg.

Passo 2

Definição e ideia principal que vamos usar: por definição lógica, a implicação (A \to B) é equivalente à disjunção (\neg A \lor B). Aqui as letras A e B representam proposições quaisquer; no nosso problema temos A=q e B=p. Então primeiro passo de transformação é escrever
(q \to p) \equiv (\neg q \lor p).
Explicando: a implicação diz "se q então p"; isso é verdadeiro sempre exceto no caso em que q é verdadeiro e p é falso; a fórmula \neg q \lor p tem exatamente esse mesmo comportamento.

Passo 3

Objetivo: eliminar o conectivo “ou” (\lor), porque só podemos usar \land e \neg. Para isso usamos a equivalência de De Morgan que transforma disjunção em negação de conjunções:
(X \lor Y) \equiv \neg(\neg X \land \neg Y),
para quaisquer proposições X e Y. É uma fórmula padrão: “A ou B” é equivalente a “não (não A e não B)”.

Passo 4

Aplicando De Morgan em (\neg q \lor p): tome X=\neg q e Y=p. Então
(\neg q \lor p) \equiv \neg(\neg(\neg q) \land \neg p).
Aqui substituímos diretamente X e Y na equivalência do passo anterior.

Passo 5

Agora simplificamos as negações duplas: \neg(\neg q) = q. Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
\neg(\neg(\neg q) \land \neg p) \equiv \neg(q \land \neg p).
Portanto chegamos a uma fórmula que usa somente \land e \neg.

Passo 6

Verificação rápida por raciocínio das quatro possibilidades (modo didático e curto):
  • Se q é verdadeiro e p é falso: (q \to p) é falso; (q \land \neg p) é verdadeiro, então \neg(q \land \neg p) é falso ⇒ coincide.
  • Nos outros três casos (quando q é falso, ou quando p é verdadeiro), (q \to p) é verdadeiro; nesses casos q \land \neg p é falso, então \neg(q \land \neg p) é verdadeiro ⇒ coincide.
    Assim a equivalência está confirmada pela análise dos casos possíveis.

Passo 7

Conclusão: a expressão equivalente usando somente “e” (\land) e negação (\neg) é \neg(q \land \neg p). Dá para lembrar disso na prova: q \to p vira \neg q \lor p e a regra de De Morgan transforma \lor em \neg(\,\land\,).

Resposta

\neg(q \land \neg p)

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