Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
q -> p
q -> p
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão logicamente equivalente à implicação
que use apenas os conectivos “e”
e negação
.
Informações dadas: a fórmula inicial é . Não há outras restrições além de usar somente
e
.
Informações dadas: a fórmula inicial é
Passo 2
Definição e ideia principal que vamos usar: por definição lógica, a implicação
é equivalente à disjunção
. Aqui as letras
e
representam proposições quaisquer; no nosso problema temos
e
. Então primeiro passo de transformação é escrever
Explicando: a implicação diz "se
então
"; isso é verdadeiro sempre exceto no caso em que
é verdadeiro e
é falso; a fórmula
tem exatamente esse mesmo comportamento.
Passo 3
Objetivo: eliminar o conectivo “ou”
, porque só podemos usar
e
. Para isso usamos a equivalência de De Morgan que transforma disjunção em negação de conjunções:
para quaisquer proposições
e
. É uma fórmula padrão: “A ou B” é equivalente a “não (não A e não B)”.
Passo 4
Aplicando De Morgan em
: tome
e
. Então
Aqui substituímos diretamente
e
na equivalência do passo anterior.
Passo 5
Agora simplificamos as negações duplas:
. Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
Portanto chegamos a uma fórmula que usa somente
e
.
Passo 6
Verificação rápida por raciocínio das quatro possibilidades (modo didático e curto):
- Se
é verdadeiro e é falso: é falso; é verdadeiro, então é falso ⇒ coincide. - Nos outros três casos (quando
é falso, ou quando é verdadeiro), é verdadeiro; nesses casos é falso, então é verdadeiro ⇒ coincide.
Assim a equivalência está confirmada pela análise dos casos possíveis.
Passo 7
Conclusão: a expressão equivalente usando somente “e”
e negação
é
. Dá para lembrar disso na prova:
vira
e a regra de De Morgan transforma
em
.