Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
\mathrm{p}^{\wedge}(\mathrm{p} \vee \mathrm{q})->\mathrm{r} v(\mathrm{q} \wedge \mathrm{r})

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula proposicional
p \wedge (p \vee q) \to r \vee (q \wedge r)
e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” e negação. Ou seja, quero uma fórmula que contenha só \vee (disjunção) e negação (vou usar o símbolo \sim para negação). As letras p,q,r representam proposições quaisquer (afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas).
O que precisamos fazer: transformar a fórmula passo a passo em uma forma equivalente que use apenas \vee e \sim.

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: eliminar a implicação. Lembre do equivalência lógica fundamental entre implicação e disjunção:
\text{Para quaisquer fórmulas }A,B:\quad A \to B \equiv \neg A \vee B.ó
Explicação curta do porquê: A\to B é falso só quando A é verdadeiro e B é falso; a expressão \neg A \vee B tem exatamente a mesma tabela de verdade. Aplicando isso à nossa fórmula, com A = p \wedge (p\vee q) e B = r \vee (q\wedge r), obtemos:
\neg\big(p \wedge (p \vee q)\big)\\ \vee\\ \big(r \vee (q \wedge r)\big).

Passo 3

Agora simplificamos a parte da esquerda p \wedge (p \vee q). Use a lei de absorção:
\text{Para quaisquer }X,Y:\quad X \wedge (X \vee Y) \equiv X.
Intuição / prova rápida: se X é verdadeira, então X\vee Y é verdadeira, logo a conjunção dá X; se X é falsa, a conjunção é falsa em ambos os lados. Aplicando com X=p e Y=q,
p \wedge (p \vee q) \equiv p.
Substituindo na expressão do Passo 2:
\neg p \vee \big(r \vee (q \wedge r)\big).

Passo 4

Agora simplificamos a parte da direita r \vee (q \wedge r). Novamente é a lei de absorção, agora na forma
X \vee (Y \wedge X) \equiv X.
Pelo mesmo raciocínio: se X é verdadeira, a disjunção é verdadeira; se X é falsa, Y\wedge X também é falsa, logo ambos os lados são falsos. Com X=r e Y=q,
r \vee (q \wedge r) \equiv r.
Logo a expressão do Passo 3 fica
\neg p \vee r.

Passo 5

A expressão \neg p \vee r já usa somente disjunção e negação. Para ficar com o símbolo de negação pedido (o til ~), podemos escrever a negação de p como \sim p. Observação: \sim p e \neg p são notações equivalentes para "não p". Assim a forma final desejada, composta apenas por \vee e negação, é "não p ou r".

Resposta

\sim p \vee r