Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula proposicional
e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” e negação. Ou seja, quero uma fórmula que contenha só
(disjunção) e negação (vou usar o símbolo
para negação). As letras
representam proposições quaisquer (afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas).
O que precisamos fazer: transformar a fórmula passo a passo em uma forma equivalente que use apenas
e
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico padrão: eliminar a implicação. Lembre do equivalência lógica fundamental entre implicação e disjunção:
Explicação curta do porquê:
é falso só quando
é verdadeiro e
é falso; a expressão
tem exatamente a mesma tabela de verdade. Aplicando isso à nossa fórmula, com
e
, obtemos:
Passo 3
Agora simplificamos a parte da esquerda
. Use a lei de absorção:
Intuição / prova rápida: se
é verdadeira, então
é verdadeira, logo a conjunção dá
; se
é falsa, a conjunção é falsa em ambos os lados. Aplicando com
e
,
Substituindo na expressão do Passo 2:
Passo 4
Agora simplificamos a parte da direita
. Novamente é a lei de absorção, agora na forma
Pelo mesmo raciocínio: se
é verdadeira, a disjunção é verdadeira; se
é falsa,
também é falsa, logo ambos os lados são falsos. Com
e
,
Logo a expressão do Passo 3 fica
Passo 5
A expressão
já usa somente disjunção e negação. Para ficar com o símbolo de negação pedido (o til ~), podemos escrever a negação de
como
. Observação:
e
são notações equivalentes para "não
". Assim a forma final desejada, composta apenas por
e negação, é "não
ou
".