Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula
e pede uma expressão equivalente que use somente o conectivo
(ou) e a negação (representada por
, que é o símbolo lógico para “~”).
Observação: o símbolo é ambíguo no enunciado. A interpretação mais razoável, e também a mais comum em textos informais, é que ”, isto é, a negação de
. Vou adotar essa interpretação. Se a intenção for outra (por exemplo,
Observação: o símbolo
/ antes de
/q significa “não
/ significando algum outro conectivo), a solução mudaria.O que se pede: escrever uma fórmula equivalente usando apenas
e negações (ou seja, só
e
).
Dados relevantes:
- Fórmula dada:
(interpetada como ). - Objetivo: usar apenas
e .
Passo 2
Explicar os símbolos que vou usar e o que significa "usar apenas
e
":
-
é o conectivo “ou” (disjunção). A fórmula é verdadeira sempre que for verdadeira, ou for verdadeira, ou ambos. -
é a negação. A fórmula é verdadeira exatamente quando é falsa. - Queremos que a expressão final contenha apenas esses símbolos e variáveis (
), sem outros conectivos como , , , etc.
Passo 3
Interpretando e a negação de
. Substituindo o símbolo ambíguo , obtemos diretamente:
/q como negação, a fórmula dada já é uma disjunção entre
/ pelo símbolo padrão de negação
Essa expressão já usa apenas o conectivo
e a negação
, portanto já satisfaz o requisito pedido.
Passo 4
Para te dar uma “caixinha de ferramentas” útil para a prova (caso surjam outras fórmulas que não estejam tão óbvias), aqui vão equivalências importantes que permitem reescrever outros conectivos usando só
e
. Vou explicar cada uma rapidinho para você decorar:
- Negação dupla (bom lembrar):
Isto diz que negar duas vezes volta ao original.
- Lei de De Morgan (para converter
em e negações):
Explicação: a conjunção é a negação da disjunção das negações. Intuitivamente, “
e
” é o mesmo que “não (não
ou não
)”.
- Implicação escrita com
e :
Explicação: “se
então
” é logicamente equivalente a “ou não
ou
”.
- Bi-implicação (duas implicações) — só para ter à mão:
Substituindo as implicações e depois a conjunção por De Morgan, dá-se uma forma puramente com
e
. Explicitamente,
que é feio pra caramba, mas usa só
e
.
Essas equivalências são as que você mais vai precisar na prova para transformar qualquer fórmula numa forma que use apenas
e negação.
Passo 5
Resumo prático para o caso concreto: como assumimos que ”, não há transformação adicional a fazer além de trocar o símbolo ambíguo pela negação padrão. A expressão final já está na forma exigida.
/q significa “não
Força aí — essa questão é curta, mas decorando as equivalências acima você resolve variações num piscar de olhos na prova.