Utilizando a definição de derivada, diferencie as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para diferenciá‑la usando a definição de derivada. Informações fornecidas:
- Função:
. - Pedido: calcular
utilizando a definição de derivada (ou seja, a definição limite do quociente incremental).
Passo 2
Escrevendo a definição de derivada que vamos usar:
Explicação do que cada coisa significa:
-
é um incremento na variável ; vamos aproximar a taxa de variação média quando varia para . -
é o valor da função no ponto deslocado por . - O quociente
é a taxa média de variação de no intervalo de comprimento . - A derivada
é o limite dessa taxa média quando tende a zero.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na função:
Expandindo passo a passo:
logo
Distribuindo os coeficientes:
Passo 4
Calcular a diferença
. Lembrando que
:
Simplificando termos iguais (os
, os
e os
cancelam):
Fatorando
(útil para cancelar no quociente):
Passo 5
Formar o quociente e simplificar:
válido para
. Agora aplicamos o limite quando
:
Comentário didático: a razão pela qual foi possível cancelar o
é que estamos interessados no limite quando
tende a zero, e a expressão simplificada não apresenta indeterminação ao tomar esse limite.