Utilizando a definição de derivada, diferencie as seguintes funções:
f(x)=3 x^{2}-5 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para diferenciá‑la usando a definição de derivada. Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=3x^{2}-5x+3.
  • Pedido: calcular f'(x) utilizando a definição de derivada (ou seja, a definição limite do quociente incremental).

Passo 2

Escrevendo a definição de derivada que vamos usar:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicação do que cada coisa significa:
  • h é um incremento na variável x; vamos aproximar a taxa de variação média quando x varia para x+h.
  • f(x+h) é o valor da função no ponto deslocado por h.
  • O quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f no intervalo de comprimento h.
  • A derivada f'(x) é o limite dessa taxa média quando h tende a zero.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituindo x+h na função:
f(x+h)=3(x+h)^{2}-5(x+h)+3.
Expandindo passo a passo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
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f(x+h)=3(x^{2}+2xh+h^{2})-5x-5h+3.
Distribuindo os coeficientes:
f(x+h)=3x^{2}+6xh+3h^{2}-5x-5h+3.

Passo 4

Calcular a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=3x^{2}-5x+3:
f(x+h)-f(x)=(3x^{2}+6xh+3h^{2}-5x-5h+3)-(3x^{2}-5x+3).
Simplificando termos iguais (os 3x^{2}, os -5x e os +3 cancelam):
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}-5h.
Fatorando h (útil para cancelar no quociente):
f(x+h)-f(x)=h(6x+3h-5).

Passo 5

Formar o quociente e simplificar:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(6x+3h-5)}{h}=6x+3h-5,
válido para h\neq 0. Agora aplicamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}(6x+3h-5)=6x+3\cdot 0-5=6x-5.
Comentário didático: a razão pela qual foi possível cancelar o h é que estamos interessados no limite quando h tende a zero, e a expressão simplificada não apresenta indeterminação ao tomar esse limite.

Resposta

f'(x)=6x-5