Utilizando o método de derivação logarítmica, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{(x+2)\left(x^{4}+3 x^{2}\\right)}{(x+7)^{5}}\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \frac{(x+2)\bigl(x^{4}+3x^{2}\bigr)}{(x+7)^{5}}
usando o método de derivação logarítmica. Vamos precisar das propriedades de logaritmo ( \ln(ab)=\ln a+\ln b, \ln(a/b)=\ln a-\ln b) e da regra
\frac{d}{dx}\bigl[\ln g(x)\bigr] = \frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 2

Aplicamos logaritmo em ambos os lados:
\ln f(x) = \ln(x+2) + \ln\bigl(x^{4}+3x^{2}\bigr) \;-\; 5\,\ln(x+7).

Passo 3

Derivando cada termo em relação a x:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+2)\bigr] + \frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{4}+3x^{2})\bigr] - 5\,\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+7)\bigr].
Isso dá
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+2} + \frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}} - \frac{5}{x+7}.

Passo 4

Isolando f'(x):
f'(x) = f(x)\,\biggl[\frac{1}{x+2} + \frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}} - \frac{5}{x+7}\biggr].
Substituindo f(x)=\frac{(x+2)(x^4+3x^2)}{(x+7)^5} e colocando tudo sobre o mesmo denominador (x+7)^6, obtemos após simplificação:

Passo 5

Ao somar os três termos e agrupar, o numerador fica
33x^{4}+50x^{3}+45x^{2}+84x = x\bigl(33x^{3}+50x^{2}+45x+84\bigr),
e o denominador é (x+7)^{6}.

Resposta

f'(x) = \frac{x\bigl(33x^{3}+50x^{2}+45x+84\bigr)}{(x+7)^{6}}.

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