Utilizando o Modelo de Drude de condutividade elétrica para metais, estime a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico, sabendo que
(tempo de relaxação) é da ordem de
. Cuidado com as unidades.
Número de Avogadro:
Número atômico do Cu: 29
Massa atômica do Cu:
Densidade do Cu:
Carga do elétron:
Massa do elétron:
[elétrons
]
Número atômico do Cu: 29
Massa atômica do Cu:
Densidade do Cu:
Carga do elétron:
Massa do elétron:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado pede: estimar a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre usando o modelo de Drude, sabendo que
(tempo de relaxação) é da ordem de . - Constantes e dados fornecidos:
- Número de Avogadro:
. - Número atômico do Cu:
(informação sobre o elemento). - Massa atômica do Cu:
. - Densidade do Cu:
. - Carga do elétron:
(usarei ). - Massa do elétron:
. - Tempo de relaxação:
. - Fórmulas que vamos usar:
- Número de Avogadro:
- Observação importante (decisão que vou tomar sem perguntar): a fórmula pede
= número de elétrons livres por átomo (valência efetiva). Para cobre metálico, na prática, cada átomo fornece aproximadamente um elétron de condução (Cu é usualmente tratado como monovalente no modelo de Drude). Portanto vou usar . Se usássemos (todas as elétrons atômicas), obteríamos um valor claramente não físico para elétrons livres; o modelo considera elétrons de valência livres.
Passo 2
Calcular a densidade de elétrons
em unidades convenientes (elétrons por metro cúbico,
), com atenção às unidades.
Primeiro uso a fórmula dada em unidades de
:
Substituindo
,
,
,
:
Faço a conta passo a passo:
Logo
Agora converto para
. Como
, para passar de
para
multiplica-se por
:
Portanto
Comentário rápido amigo: esse valor está na casa esperada para metais (~10{28}–10{29}\
), então parece coerente.
Passo 3
Preparar as demais quantidades em unidades SI (kg, m, s).
- Carga do elétron:
(já em SI). - Tempo de relaxação:
(já em SI). - Massa do elétron: foi dada
. Converto para quilogramas:
Passo 4
Apresentar a fórmula de Drude para a condutividade e explicar cada termo (uma mini-aula prática).
A fórmula usada é
Explicando cada símbolo de modo direto:
-
é a condutividade elétrica (unidade SI: , siemens por metro). -
é a densidade de elétrons livres (número de elétrons por metro cúbico, ). -
é a carga elementar (módulo), em coulombs. -
é o tempo médio entre colisões (tempo de relaxação), em segundos. -
é a massa do elétron em quilogramas.
A ideia física: cada elétron submetido a um campo elétrico adquire uma velocidade média proporcional ao campo, mas as colisões (caracterizadas por
) limitam essa velocidade. A condutividade mede quanto corrente aparece por unidade de campo; do ponto de vista dimensional, a fórmula combina densidade, carga ao quadrado, tempo de colisão e massa para dar a grandeza correta.
Passo 5
Substituir os números na fórmula e calcular cuidadosamente.
Calculo intermediário de
:
Agora o numerador
:
Multiplico mantissas e somo expoentes:
- Mantissas:
. - Expoentes:
.
Logo
Divido pelo
:
Faço a divisão das mantissas e trato o expoente:
expoentes:
.
Portanto
Arredondando para representar a ordem de grandeza:
Passo 6
Interpretação e comentários finais (motivação e comparação rápida).
- Resultado estimado:
, ou, em ordem de grandeza, . - Valor experimental conhecido para cobre puro em temperatura ambiente é cerca de
. A diferença de aproximadamente um fator vem de causas esperadas: - O valor de
que foi usado ( ) é relativamente pequeno; um maior (por exemplo ) aproximaria o valor teórico do experimental. - No modelo de Drude há simplificações (processo de espalhamento, valência efetiva, imperfeições, dependência com temperatura), então obter um valor na mesma ordem de grandeza (aqui
vs ) é aceitável para uma estimativa simples.
- O valor de
- Conclusão prática: com
e assumindo um elétron livre por átomo, a condutividade prevista pelo modelo de Drude está na ordem de .