(2,5) Utilizando o Modelo de Drude de condutividade elétrica para metais, estime a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico, sabendo que \tau (tempo de relaxação) é da ordem de 10^{-15} \mathrm{~s}. Cuidado com as unidades.
Número de Avogadro: 6,02 \times 10^{23}
Número atômico do Cu: 29
Massa atômica do Cu: 63,5 \mathrm{~g}
Densidade do Cu: 8,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
Carga do elétron: -1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C}
Massa do elétron: 9,11 \times 10^{-28} \mathrm{~g}
\mathrm{n}=(\mathrm{N} \times \mathrm{Z} \times \rho) / \mathrm{A} [elétrons / \mathrm{cm}^{3} ]
\sigma=n e^{2} \tau / m_{e}
\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}=1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2 \sqrt{D t}}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado pede: estimar a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre usando o modelo de Drude, sabendo que \tau (tempo de relaxação) é da ordem de 10^{-15}\\ \mathrm{s}.
  • Constantes e dados fornecidos:
    • Número de Avogadro: N=6{,}02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
    • Número atômico do Cu: 29 (informação sobre o elemento).
    • Massa atômica do Cu: A=63{,}5\\ \mathrm{g/mol}.
    • Densidade do Cu: \rho=8{,}9\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Carga do elétron: e=-1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (usarei |e|=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}).
    • Massa do elétron: m_e=9{,}11\times10^{-28}\\ \mathrm{g}.
    • Tempo de relaxação: \tau \sim 10^{-15}\\ \mathrm{s}.
    • Fórmulas que vamos usar: n=\frac{N\times Z\times \rho}{A}\quad\text{(elétrons/cm}^3\text{, se }\rho\text{ em g/cm}^3\text{ e }A\text{ em g/mol)}é
\sigma=\frac{n e^{2}\tau}{m_e}
  • Observação importante (decisão que vou tomar sem perguntar): a fórmula pede Z = número de elétrons livres por átomo (valência efetiva). Para cobre metálico, na prática, cada átomo fornece aproximadamente um elétron de condução (Cu é usualmente tratado como monovalente no modelo de Drude). Portanto vou usar Z=1. Se usássemos Z=29 (todas as elétrons atômicas), obteríamos um valor claramente não físico para elétrons livres; o modelo considera elétrons de valência livres.

Passo 2

Calcular a densidade de elétrons n em unidades convenientes (elétrons por metro cúbico, \mathrm{m^{-3}}), com atenção às unidades.
Primeiro uso a fórmula dada em unidades de \mathrm{cm^{-3}}:
n_{\text{(cm}^{-3}\text{)}}=\frac{N\cdot Z\cdot \rho}{A}.
Substituindo N=6{,}02\times10^{23}, Z=1, \rho=8{,}9\\ \mathrm{g/cm^{3}}, A=63{,}5\\ \mathrm{g/mol}:
n_{\text{(cm}^{-3}\text{)}}=\frac{6{,}02\times10^{23}\cdot 1\cdot 8{,}9}{63{,}5}.
Faço a conta passo a passo:
6{,}02\times8{,}9=53{,}578,
\frac{53{,}578}{63{,}5}=0{,}8439\ldots
Logo
n_{\text{(cm}^{-3}\text{)}}\approx 0{,}8439\times10^{23}=8{,}44\times10^{22}\\ \text{elétrons/cm}^3.é
Agora converto para \mathrm{m^{-3}}. Como 1\\ \mathrm{cm}^3=10^{-6}\\ \mathrm{m}^3, para passar de \text{el/cm}^3 para \text{el/m}^3 multiplica-se por 10^{6}:
n = 8{,}44\times10^{22}\times10^{6}=8{,}44\times10^{28}\\ \text{elétrons/m}^3.é
Portanto
n\approx 8{,}44\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Comentário rápido amigo: esse valor está na casa esperada para metais (~10{28}–10{29}\ \mathrm{m^{-3}}), então parece coerente.

Passo 3

Preparar as demais quantidades em unidades SI (kg, m, s).
  • Carga do elétron: |e|=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (já em SI).
  • Tempo de relaxação: \tau = 1\times10^{-15}\\ \mathrm{s} (já em SI).
  • Massa do elétron: foi dada m_e=9{,}11\times10^{-28}\\ \mathrm{g}. Converto para quilogramas: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}\quad\Rightarrow\quad m_e=9{,}11\times10^{-28}\times10^{-3}=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Apresentar a fórmula de Drude para a condutividade e explicar cada termo (uma mini-aula prática).
A fórmula usada é
\sigma=\frac{n e^{2}\tau}{m_e}.
Explicando cada símbolo de modo direto:
  • \sigma é a condutividade elétrica (unidade SI: \mathrm{S/m}, siemens por metro).
  • n é a densidade de elétrons livres (número de elétrons por metro cúbico, \mathrm{m^{-3}}).
  • e é a carga elementar (módulo), em coulombs.
  • \tau é o tempo médio entre colisões (tempo de relaxação), em segundos.
  • m_e é a massa do elétron em quilogramas.
A ideia física: cada elétron submetido a um campo elétrico adquire uma velocidade média proporcional ao campo, mas as colisões (caracterizadas por \tau) limitam essa velocidade. A condutividade mede quanto corrente aparece por unidade de campo; do ponto de vista dimensional, a fórmula combina densidade, carga ao quadrado, tempo de colisão e massa para dar a grandeza correta.

Passo 5

Substituir os números na fórmula e calcular cuidadosamente.
Calculo intermediário de e^2:
e^{2}=(1{,}60\times10^{-19})^{2}=2{,}56\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
Agora o numerador n e^{2}\tau:
n e^{2}\tau=(8{,}44\times10^{28})\times(2{,}56\times10^{-38})\times(1{,}0\times10^{-15}).
Multiplico mantissas e somo expoentes:
  • Mantissas: 8{,}44\times2{,}56\times1{,}0=21{,}60384.
  • Expoentes: 10^{28}\times10^{-38}\times10^{-15}=10^{28-38-15}=10^{-25}.
Logo
n e^{2}\tau \approx 21{,}60384\times10^{-25}=2{,}160384\times10^{-24}\\ \mathrm{C^2\, m^{-3}\, s}.
Divido pelo m_e:
\sigma=\frac{2{,}160384\times10^{-24}}{9{,}11\times10^{-31}}\\ \mathrm{S/m}.
Faço a divisão das mantissas e trato o expoente:
\frac{2{,}160384}{9{,}11}\approx 0{,}2372,
expoentes: 10^{-24}/10^{-31}=10^{7}.
Portanto
\sigma\approx 0{,}2372\times10^{7}=2{,}372\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}.
Arredondando para representar a ordem de grandeza:
\sigma\sim 10^{6}\\ \mathrm{S/m}.

Passo 6

Interpretação e comentários finais (motivação e comparação rápida).
  • Resultado estimado: \sigma\sim 2{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}, ou, em ordem de grandeza, \sigma\sim10^{6}\\ \mathrm{S/m}.
  • Valor experimental conhecido para cobre puro em temperatura ambiente é cerca de \sigma_{\text{exp}}\approx 5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}. A diferença de aproximadamente um fator 20{-}30 vem de causas esperadas:
    • O valor de \tau que foi usado ( 10^{-15}\\ \mathrm{s}) é relativamente pequeno; um \tau maior (por exemplo \sim 10^{-14}\\ \mathrm{s}) aproximaria o valor teórico do experimental.
    • No modelo de Drude há simplificações (processo de espalhamento, valência efetiva, imperfeições, dependência com temperatura), então obter um valor na mesma ordem de grandeza (aqui 10^{6} vs 10^{7}) é aceitável para uma estimativa simples.
  • Conclusão prática: com \tau\sim10^{-15}\\ \mathrm{s} e assumindo um elétron livre por átomo, a condutividade prevista pelo modelo de Drude está na ordem de 10^{6}\\ \mathrm{S/m}.

Resposta

\sigma\approx 2{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{S/m} (ordem de grandeza: \;10^{6}\\ \mathrm{S/m})

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