(3,0) Em um processo de dopagem de As em wafer de Si puro a 1.300^{\circ} \mathrm{C}, com uma concentração de As na superfície externa de 1 \%, qual deve ser o tempo de dopagem para atingir uma concentração de As de 0,07 \% na posição de 0,1 \mu \mathrm{~m} abaixo da superfície do Si? Considere como coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura de 5,0 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Considere o wafer de Si como semi-infinito.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um tempo de dopagem:
  • Temperatura: 1.300^\circ\mathrm{C} (apenas contextual).
  • Concentração de Arsênico na superfície: C_s = 1\%.
  • Concentração desejada a uma profundidade x=0,1\\ \mu\mathrm{m}: C(x,t)=0,07\%.
  • Coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura: D=5,0\times10^{-13}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Geometria: wafer tratado como semi-infinito e wafer inicialmente puro (concentração inicial desprezível).
    O que se pede: determinar o tempo de dopagem t necessário para que a concentração em x=0,1\\ \mu\mathrm{m} seja 0,07\%.

Passo 2

Modelo físico e equação usada (explicação didática):
  • Para difusão unidimensional num semi-espaço semi-infinito com concentração superficial mantida constante em C_s e concentração inicial praticamente zero no interior, a solução da equação de difusão é (solução clássica com função erro complementar):
C(x,t) = C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Explicando cada símbolo:
  • C(x,t) é a concentração no ponto x e no tempo t.
  • C_s é a concentração fixa na superfície ( x=0).
  • D é o coeficiente de difusão (aqui em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}).
  • \operatorname{erfc}(z) é a função erro complementar, definida por \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z), onde \operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-u^2}\,du.
    Motivação breve: essa fórmula aparece resolvendo a equação de difusão \partial C/\partial t = D\,\partial^2 C/\partial x^2 com C(x,0)=0 para x>0 e C(0,t)=C_s, supondo semi-infinito.

Passo 3

Aplicando os dados ao modelo:
  • Queremos C(x,t)/C_s = 0,07 (pois 0,07\% / 1\% = 0,07).
    Portanto:
\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)=0,07.
Definindo
u \equiv \dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}},
temos
\operatorname{erfc}(u)=0,07 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{erf}(u)=1-0,07=0,93.
Logo u=\operatorname{erf}^{-1}(0,93). Como \operatorname{erf}^{-1} não tem forma elemental, vamos achar u numericamente por interpolação em valores tabulados da \operatorname{erf}.
Valores tabulados (conhecidos):
\operatorname{erf}(1,2)\approx0,910314,\qquad \operatorname{erf}(1,3)\approx0,934008.
Queremos \operatorname{erf}(u)=0,93, que cai entre esses dois pontos. Fazendo interpolação linear aproximada:
\text{fração}=\dfrac{0,93-0,910314}{0,934008-0,910314}=\dfrac{0,019686}{0,023694}\approx0,8318.çã
Portanto
u\approx 1,2 + 0,8318\times(1,3-1,2)=1,2+0,08318\approx1,283.
(Verificação rápida: \operatorname{erf}(1,283) fica bem próximo de 0,93.)

Passo 4

Isolando t em função de u:
u=\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{D\,t}=\dfrac{x}{2u}\quad\Longrightarrow\quad t=\dfrac{x^2}{4u^2 D}.
Agora convertemos unidades e substituímos:
  • x=0,1\\ \mu\mathrm{m}=0,1\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}.
  • D=5,0\times10^{-13}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • u\approx1,283.
    Calcule os termos passo a passo:
x^2=(1\times10^{-5})^2=1\times10^{-10}\\ \mathrm{cm}^2,
u^2\approx(1,283)^2\approx1,646089,
4u^2D \approx 4\times1,646089\times5,0\times10^{-13}= (6,584356)\times5,0\times10^{-13}=3,292178\times10^{-12}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Portanto
t=\dfrac{1\times10^{-10}}{3,292178\times10^{-12}}\\ \mathrm{s}\approx30,4\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • O tempo encontrado é curto ( \approx30{,}4\\ \mathrm{s}), o que faz sentido porque a profundidade é muito pequena ( 0{,}1\\ \mu\mathrm{m}) e, mesmo com D pequeno, a distância a percorrer é tiny.
  • Checagem do comprimento de difusão: \sqrt{D\,t}\approx \dfrac{x}{2u}\approx \dfrac{1\times10^{-5}}{2\times1,283}\approx3,9\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}=39\\ \mathrm{nm}=0,039\\ \mu\mathrm{m}, menor que a espessura do wafer, então a aproximação semi-infinita é válida.
  • Observação prática: usei interpolação linear para \operatorname{erf}^{-1}; usando métodos numéricos mais precisos o valor muda muito pouco (alguns décimos de segundo). Também a suposição de C_s exatamente constante na superfície é idealizada; em processos reais isso depende do método de deposição/fornecimento do As.

Resposta

t \approx 30{,}4\\ \mathrm{s}

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