Em um processo de dopagem de As em wafer de Si puro a
, com uma concentração de As na superfície externa de
, qual deve ser o tempo de dopagem para atingir uma concentração de As de
na posição de
abaixo da superfície do Si? Considere como coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura de
. Considere o wafer de Si como semi-infinito.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um tempo de dopagem:
- Temperatura:
(apenas contextual). - Concentração de Arsênico na superfície:
. - Concentração desejada a uma profundidade
: . - Coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura:
. - Geometria: wafer tratado como semi-infinito e wafer inicialmente puro (concentração inicial desprezível).
O que se pede: determinar o tempo de dopagemnecessário para que a concentração em seja .
Passo 2
Modelo físico e equação usada (explicação didática):
- Para difusão unidimensional num semi-espaço semi-infinito com concentração superficial mantida constante em
e concentração inicial praticamente zero no interior, a solução da equação de difusão é (solução clássica com função erro complementar):
Explicando cada símbolo:
-
é a concentração no ponto e no tempo . -
é a concentração fixa na superfície ( ). -
é o coeficiente de difusão (aqui em ). -
é a função erro complementar, definida por , onde .
Motivação breve: essa fórmula aparece resolvendo a equação de difusãocom para e , supondo semi-infinito.
Passo 3
Aplicando os dados ao modelo:
- Queremos
(pois ).
Portanto:
Definindo
temos
Logo
. Como
não tem forma elemental, vamos achar
numericamente por interpolação em valores tabulados da
.
Valores tabulados (conhecidos):
Valores tabulados (conhecidos):
Queremos
, que cai entre esses dois pontos. Fazendo interpolação linear aproximada:
Portanto
(Verificação rápida:
fica bem próximo de
.)
Passo 4
Isolando
em função de
:
Agora convertemos unidades e substituímos:
-
-
-
.
Calcule os termos passo a passo:
Portanto
Passo 5
Interpretação e checagem rápida:
- O tempo encontrado é curto (
), o que faz sentido porque a profundidade é muito pequena ( ) e, mesmo com pequeno, a distância a percorrer é tiny. - Checagem do comprimento de difusão:
, menor que a espessura do wafer, então a aproximação semi-infinita é válida. - Observação prática: usei interpolação linear para
; usando métodos numéricos mais precisos o valor muda muito pouco (alguns décimos de segundo). Também a suposição de exatamente constante na superfície é idealizada; em processos reais isso depende do método de deposição/fornecimento do As.