Utilizando uma substituição adequada, calcule integral x^2 cos (x^3+1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 cos (x^3+1) , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para dentro do cosseno: temos x^3 + 1. Isso parece complicado, mas se pensarmos em substituição, podemos simplificar. Vamos chamar essa expressão de u.
Então, definimos:
u = x^3 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx. Derivando u:
dudx = 3x^2
Portanto,
du = 3x^2 , dx

Passo 4

Queremos expressar x^2 , dx em termos de du. Da equação acima, podemos resolver para x^2 , dx:
x^2 , dx = du3

Passo 5

Agora, substituímos u e x^2 , dx na integral original:
integral x^2 cos (x^3+1) , dx = integral cos(u) cdot du3
Isso simplifica para:
13 integral cos(u) , du

Passo 6

A integral de cos(u) em relação a u é sin(u). Então, continuando:
13 sin(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para termos em função de x:
13 sin(x^3 + 1) + C

Resposta

A integral de x^2 cos (x^3+1) , dx é:
13 sin(x^3 + 1) + C

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