Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma(x^4-y^3) d x+(x^3+y^5) d y
numa integral dupla e calcule, em que gamma é dada por gamma(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar uma integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green e, depois, calcular isso tudo. A integral de linha que temos é:
ointgamma(x^4-y^3) dx + (x^3+y^5) dy
Aqui, gamma é uma curva fechada dada por para gamma(t) = (cos t, sen t), ou seja, o círculo unitário. Pra resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Então, vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P e Q na integral de linha. Na nossa integral, temos:
P(x, y) = x^4 - y^3
Q(x, y) = x^3 + y^5
O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde D é a região dentro da curva gamma.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + y^5) = 3x^2
Depois, a derivada de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (x^4 - y^3) = -3y^2
Agora, vamos subtrair essas duas derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 3(x^2 + y^2) , dx , dy
Como D é o círculo unitário, faz sentido usar coordenadas polares pra simplificar. Lembrando que em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2 e dx , dy = r , dr , dtheta.

Passo 5

Vamos mudar para coordenadas polares:
integral duplaD 3r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral duplaD r^3 , dr , dtheta
Os limites de integração para r vão de 0 a 1 (raio do círculo) e para theta de 0 a 2pi.

Passo 6

Agora, vamos integrar:
3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Então, a integral fica:
3 integral0^2pi 14 , dtheta = 34 integral0^2pi dtheta = 34 cdot 2pi = 3pi2

Resposta

O valor da integral é dfrac3pi2.

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