Utilizar o método da separação das variáveis para encontrar soluções particulares em forma de produto, boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), para as EDP apresentadas, considerando-se para a constante de separação três casos possíveis: Caso I, constante = \lambda^{2}>0; Caso II, constante =0; Caso III, constante =-\lambda^{2}<0. Após determinar a solução, fazer a verificação.
u_{x}+u_{y}=u

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache soluções particulares da EDP
u_x + u_y = u
por separação de variáveis, supondo
u(x,y) = X(x)\,Y(y)
e introduzindo uma constante de separação que pode ser +\lambda^2, 0 ou -\lambda^2. Vamos usar a técnica de separar em duas EDOs, uma para X e outra para Y.

Passo 2

Substituindo u = X(x)Y(y) na EDP, temos
u_x = X'(x)\,Y(y),\qquad u_y = X(x)\,Y'(y),
logo a equação vira
X'(x)\,Y(y) \;+\; X(x)\,Y'(y) \;=\; X(x)\,Y(y).
Dividindo por X(x)Y(y), obtém-se
\frac{X'(x)}{X(x)} \;+\;\frac{Y'(y)}{Y(y)} \;=\;1.

Passo 3

Para separar variáveis, fixamos
\frac{Y'(y)}{Y(y)} = k,
onde k é nossa constante de separação. Então
\frac{X'(x)}{X(x)} = 1 - k.
Dessa forma temos duas EDOs independentes:
Y'(y) = k\,Y(y), \qquad X'(x) = (1 - k)\,X(x).

Passo 4

As soluções gerais dessas EDOs são
Y(y) = C\,e^{k\,y}, \qquad X(x) = D\,e^{(1-k)\,x},
onde C e D são constantes. Assim
u(x,y) = X(x)\,Y(y) = A\,\exp\bigl((1-k)\,x + k\,y\bigr),
com A = C\,D. Agora basta escolher k em cada caso pedido.

Passo 5

Caso I: k = \lambda^2 > 0.
u(x,y) = A\,\exp\bigl((1-\lambda^2)x + \lambda^2\,y\bigr).
Caso II: k = 0.
u(x,y) = A\,\exp\bigl((1-0)x + 0\cdot y\bigr) = A\,e^{x}.
Caso III: k = -\lambda^2 < 0.
u(x,y) = A\,\exp\bigl((1+\lambda^2)x - \lambda^2\,y\bigr).

Passo 6

Verificação rápida: seja de modo genérico
u(x,y) = A\,e^{(1-k)x + k\,y}.
Então
u_x = A\,(1 - k)\,e^{(1-k)x + k\,y}, \quad u_y = A\,k\,e^{(1-k)x + k\,y},
e
u_x + u_y = A\bigl((1-k)+k\bigr)e^{(1-k)x + k\,y} = A\,e^{(1-k)x + k\,y} = u.
Logo satisfaz a EDP.

Resposta

Caso I ( k=\lambda^2>0):
u(x,y)=A\,\exp\bigl((1-\lambda^2)x+\lambda^2y\bigr).
Caso II ( k=0):
u(x,y)=A\,e^{x}.
Caso III ( k=-\lambda^2<0):
u(x,y)=A\,\exp\bigl((1+\lambda^2)x-\lambda^2y\bigr).

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