Utilizar o método da separação das variáveis para encontrar soluções particulares em forma de produto,
, para as EDP apresentadas, considerando-se para a constante de separação três casos possíveis: Caso I, constante =
; Caso II, constante
; Caso III, constante
. Após determinar a solução, fazer a verificação.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache soluções particulares da EDP
por separação de variáveis, supondo
e introduzindo uma constante de separação que pode ser
,
ou
. Vamos usar a técnica de separar em duas EDOs, uma para
e outra para
.
Passo 2
Substituindo
na EDP, temos
logo a equação vira
Dividindo por
, obtém-se
Passo 3
Para separar variáveis, fixamos
onde
é nossa constante de separação. Então
Dessa forma temos duas EDOs independentes:
Passo 4
As soluções gerais dessas EDOs são
onde
e
são constantes. Assim
com
. Agora basta escolher
em cada caso pedido.
Passo 5
Caso I:
.
Caso II:
.
Caso III:
.
Passo 6
Verificação rápida: seja de modo genérico
Então
e
Logo satisfaz a EDP.
Resposta
Caso I (
):
Caso II (
):
Caso III (
):