Utilizar o método da separação das variáveis para encontrar soluções particulares em forma de produto,
, para as EDP apresentadas, considerando-se para a constante de separação três casos possíveis: Caso I, constante =
; Caso II, constante
; Caso III, constante
. Após determinar a solução, fazer a verificação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de primeiras derivadas parciais
usando o método de separação de variáveis, buscando soluções particulares da forma
e considerando três valores possíveis para a constante de separação.
Passo 2
Substituindo
na PDE, temos
A igualdade
fica
ou seja
onde
é a constante de separação.
Passo 3
Cada lado gera uma EDO simples:
As soluções gerais são
logo
Renomeando
, obtemos
Passo 4
Agora analisamos os três casos para
:
Caso I (
).
Caso II (
).
Caso III (
).
Passo 5
Verificação geral. Para
temos
logo
, como pedido.
Resposta
Caso I (
):
Caso II (
):
Caso III (
):