Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+4}{(s+4)^{2}+25}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{s+4}{(s+4)^{2}+25}
usando propriedades operacionais da transformada de Laplace, em especial a translação no eixo s.

Passo 2

Lembrando a propriedade de deslocamento no eixo s: se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s),
então
\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}(s)=F(s+a).
Aqui observamos que
\frac{s+4}{(s+4)^{2}+25}
é exatamente F(s+4) para
F(s)=\frac{s}{s^{2}+5^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(5t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+5^{2}}.
Logo, aplicando o deslocamento s\to s+4, concluímos que
\frac{s+4}{(s+4)^{2}+5^{2}}
é a transformada de
e^{-4t}\cos(5t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+4}{(s+4)^{2}+25}\Bigr\}(t) = e^{-4t}\,\cos(5t).

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