Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Delimitado pelo hiperboloide
e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa usar coordenadas polares para calcular o volume de um sólido que está limitado por um hiperboloide dado por
e pelo plano
. Então, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e montar uma integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido. Temos o hiperboloide
e o plano
. Queremos encontrar a região onde esses dois se encontram. Para isso, vamos igualar
na equação do hiperboloide:
Isso significa que a interseção entre o hiperboloide e o plano é um círculo no plano
com raio
.
Passo 3
Agora, vamos trocar para coordenadas polares porque o problema pede para usar esse sistema. Nas coordenadas polares:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos expressar os limites de integração. O raio
varia de 0 a
(o raio do círculo de interseção). O ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a volta. Para a coordenada
, ela varia do hiperboloide até o plano:
Então, o volume
pode ser expresso pela integral tripla:
Passo 5
Vamos resolver a integral começando por
:
Agora, substituímos na integral de
e
:
Vamos resolver a integral em
:
Para a primeira parte,
. Para a segunda parte, fazemos a substituição
, então
, o que simplifica a integral.
Após resolver, encontramos:
Substituindo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.