Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Delimitado pelo hiperboloide -x^2 - y^2 + z^2 = 1 e pelo plano z = 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa usar coordenadas polares para calcular o volume de um sólido que está limitado por um hiperboloide dado por e pelo plano . Então, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e montar uma integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido. Temos o hiperboloide e o plano . Queremos encontrar a região onde esses dois se encontram. Para isso, vamos igualar na equação do hiperboloide:
Isso significa que a interseção entre o hiperboloide e o plano é um círculo no plano com raio .

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas polares porque o problema pede para usar esse sistema. Nas coordenadas polares:
E o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Vamos expressar os limites de integração. O raio varia de 0 a (o raio do círculo de interseção). O ângulo vai de 0 a para cobrir toda a volta. Para a coordenada , ela varia do hiperboloide até o plano:
Então, o volume pode ser expresso pela integral tripla:

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por :
Agora, substituímos na integral de e :
Vamos resolver a integral em :
Para a primeira parte, . Para a segunda parte, fazemos a substituição , então , o que simplifica a integral.
Após resolver, encontramos:
Substituindo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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