Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2n}{n+1}\Bigr)^{n},
ou seja, queremos analisar a convergência de \sum a_n com
a_n = \Bigl(\frac{2n}{n+1}\Bigr)^{n}.
O conteúdo principal aqui é o critério da raiz, que envolve calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

Recordando o critério da raiz: seja \sum a_n uma série de termos complexos. Definimos
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Então
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o critério é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular \sqrt[n]{|a_n|}. Como a_n\ge0, temos
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{2n}{n+1}\Bigr)^{n}} = \frac{2n}{\,n+1\,}.
Agora basta tomar o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{1+\frac1n} = 2.

Passo 4

Como obtivemos
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = 2,
e 2>1, o critério da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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