Utilize os dados da tabela abaixo para demonstrar a Lei de Boyle para uma amostra de 0,28 \mathrm{~g} de \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) à 25^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{P} / \mathrm{atm}
0,26
0,41
0,83
1,20
2,10
2,63
3,14
\mathrm{~V} / \mathrm{L}
0,938
0,595
0,294
0,203
0,116
0,093
0,078
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre a Lei de Boyle para uma amostra de 0,28\\ \mathrm{g} de \mathrm{N}_{2}(\mathrm{g}) à 25^\circ\mathrm{C}, usando os dados da tabela. As perguntas implícitas são: (a) os produtos P\cdot V são (aproximadamente) constantes para as leituras dadas? (b) esse valor constante concorda com o valor previsto por nRT para a amostra?\n\nDados fornecidos (peguei todos os pares P e V da tabela):\n\begin{array}{cc} P\\ (\mathrm{atm}) & V\\ (\mathrm{L})\\[4pt] 0,26 & 0,938\\\\ 0,41 & 0,595\\\\ 0,83 & 0,294\\\\ 1,20 & 0,203\\\\ 2,10 & 0,116\\\\ 2,63 & 0,093\\\\ 3,14 & 0,078 \end{array}\nMassa da amostra: 0,28\\ \mathrm{g}. Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.]
Passo 2
Plano de ação (apenas explicando o que faremos, sem resolver ainda): para “demonstrar” a Lei de Boyle vamos calcular o produto P\cdot V para cada par de medidas — se a Lei de Boyle valer (temperatura e quantidade de gás constantes), esses produtos devem ser (aproximadamente) iguais. Em seguida calculamos o valor teórico de P\cdot V usando a equação dos gases ideais PV=nRT, onde n é o número de mols da amostra, R é a constante dos gases e T é a temperatura em kelvin; compararemos o valor experimental médio com o valor teórico.
Passo 3
Converter temperatura e calcular o número de mols n.\n\nA temperatura em kelvin é dada por T = 25^\circ\mathrm{C} + 273 = 298\\ \mathrm{K}.\n\nO número de mols \,n\, é a massa dividida pela massa molar. O gás é \mathrm{N}_2; massa molar aproximada \,M(\mathrm{N}_2)=28,02\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.\nn=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{0,28\\ \mathrm{g}}{28,02\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}=0,0099957\\ \mathrm{mol}\approx 0,0100\\ \mathrm{mol}.
Explanação: dividir massa pela massa molar transforma gramas em mols; aqui obtemos cerca de 1,00\times 10^{-2} mol.
Passo 4
Calcular o valor teórico PV=nRT e explicar a fórmula.\n\nA equação dos gases ideais é PV=nRT,
onde P é a pressão em \mathrm{atm}, V é o volume em \mathrm{L}, n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura em \mathrm{K}. Usaremos R=0,08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.\n\nCálculo:\nnRT=0,0099957\cdot 0,08206\cdot 298.\nPrimeiro calcule 0,08206\cdot 298=24,44788.\nnRT=0,0099957\cdot 24,44788=0,24432\\ \mathrm{L\cdot atm}.\nInterpretação: se a amostra e a temperatura são constantes, a Lei de Boyle diz que cada medição experimental de P\cdot V deve estar próxima de 0,24432\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Passo 5
Calcular P\cdot V experimental para cada par da tabela, mostrando os cálculos.\n\n1) Para P=0,26\\ \mathrm{atm} e V=0,938\\ \mathrm{L}:\nP\!V=0,26\cdot 0,938=0,24388\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n2) Para P=0,41\\ \mathrm{atm} e V=0,595\\ \mathrm{L}:\nP\!V=0,41\cdot 0,595=0,24395\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n3) Para P=0,83\\ \mathrm{atm} e V=0,294\\ \mathrm{L}:\nP\!V=0,83\cdot 0,294=0,24402\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n4) Para P=1,20\\ \mathrm{atm} e V=0,203\\ \mathrm{L}:\nP\!V=1,20\cdot 0,203=0,24360\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n5) Para P=2,10\\ \mathrm{atm} e V=0,116\\ \mathrm{L}:\nP\!V=2,10\cdot 0,116=0,24360\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n6) Para P=2,63\\ \mathrm{atm} e V=0,093\\ \mathrm{L}:\nP\!V=2,63\cdot 0,093=0,24459\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n7) Para P=3,14\\ \mathrm{atm} e V=0,078\\ \mathrm{L}:\nP\!V=3,14\cdot 0,078=0,24492\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Passo 6
Analisar os produtos P\cdot V calculados: calcular a média e verificar a variação.\n\nSomando os valores obtidos:\n0,24388+0,24395+0,24402+0,24360+0,24360+0,24459+0,24492=1,70856\nMédia:
\overline{PV}=\frac{1,70856}{7}=0,24408\\ \mathrm{L\cdot atm}.\nMáximo e mínimo dos PV: \max=0,24492, \min=0,24360. Diferença absoluta:\n\Delta(PV)=0,24492-0,24360=0,00132\\ \mathrm{L\cdot atm}.\nVariação relativa aproximada (em porcentagem) em relação à média:\n\frac{0,00132}{0,24408}\approx 0,0054\approx 0,54\%.\nComparação média experimental com o valor teórico nRT:\n\text{teórico}=0,24432\\ \mathrm{L\cdot atm},\qquad \overline{PV}=0,24408\\ \mathrm{L\cdot atm}.ó\nErro relativo entre média experimental e teórico:\n\frac{0,24432-0,24408}{0,24432}\approx 0,0010\approx 0,10\%.
Passo 7
Interpretação didática e conclusão passo a passo (como usar isso na prova):\n\n- A Lei de Boyle afirma que, para massa fixa de gás à temperatura constante, o produto PV é constante. Isso significa que se eu multiplicar cada pressão pela respectiva volume eu devo obter valores muito próximos entre si.\n- Fiz exatamente isso: calculei cada P\cdot V (Passo 5) e obtive valores todos muito próximos de 0,244\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n- Calculei também o valor previsto pela equação dos gases ideais PV=nRT (Passo 4) usando n=\dfrac{0,28}{28,02} mol, R=0,08206 e T=298\\ \mathrm{K}; o valor teórico foi 0,24432\\ \mathrm{L\cdot atm}.\n- A média experimental 0,24408\\ \mathrm{L\cdot atm} difere do teórico em apenas \approx 0,10\%, e a variação entre as medidas experimentais é de \approx 0,54\%; ambos são sinais claros de que os dados obedecem bem à Lei de Boyle.\n\nDica prática para prova: em problemas assim, multiplique cada P por V e compare com a média; se quiser reforçar, calcule n a partir da massa e use nRT para o valor esperado — se a diferença for pequena (poucos %), isso demonstra a lei experimentalmente.
Resposta
O produto P\cdot V é aproximadamente constante para todos os pontos, com média experimental \overline{PV}=0,24408\\ \mathrm{L\cdot atm}.\nValor teórico por nRT: nRT=0,24432\\ \mathrm{L\cdot atm}. A diferença média-teórico é \approx 0,10\%, confirmando a Lei de Boyle para a amostra.