Utilize a definição de derivada para calcular
. Utilize os teoremas de derivadas para calcular
se existir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) calcular
em
usando a definição de derivada; (ii) usar os teoremas de derivadas para obter
quando existir. As informações relevantes são: a expressão de
e o ponto
. A função só está definida para
, isto é
.
Passo 2
Lembrete da definição de derivada num ponto (a “aula” rápida): para uma função
e um ponto
, a derivada em
é o limite
quando esse limite existir. Aqui
é o incremento de
; a expressão dentro do limite é chamada de quociente diferencial. Nosso objetivo agora é aplicar essa definição para
.
Passo 3
Escrevo o quociente diferencial para
. Primeiro calculo
:
O quociente diferencial é
Passo 4
Faço uma manipulação algébrica útil: escrevo o numerador de modo a separar um termo proporcional a
. Observando
Dividindo por
obtemos
Assim o limite se transforma em soma de dois limites (quando existirem).
Passo 5
Preciso calcular
Faço a técnica do conjugado para avaliar esse limite sem usar regras prontas. Escrevo o numerador sobre um denominador comum e multiplico por
:
No numerador aparece
Substituindo:
Agora tomo o limite
. Como
, obtemos
Passo 6
Volto ao quociente diferencial e tomo o limite usando
. Lembre que
Já temos
e
. Portanto
Posso também racionalizar o denominador: multiplicando numerador e denominador por
,
Passo 7
Agora calculo
usando teoremas de derivadas (regras): reescrevo a função como produto e potência para aplicar regra do produto e regra da cadeia:
As regras que vou usar (lembrando de forma prática):
- Derivada de
é . - Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
, então .
Passo 8
Aplico a regra do produto:
Agora a derivada da potência pela regra da cadeia:
Substituindo:
Passo 9
Simplifico fatorando
:
Escrevendo de forma mais comum:
Passo 10
Verificação e domínio: a expressão
é válida para
(mesma condição de domínio de
), ou seja para
. Em particular, substituindo
obtemos
que coincide com o resultado obtido pela definição. Dica rápida para a prova: se pedirem derivada num ponto, você pode usar a definição (como fizemos) ou derivar a expressão geral e depois avaliar no ponto — ambas são estratégias válidas; a segunda costuma ser mais rápida quando se conhece as regras.