Utilize a definição de derivada para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right). Utilize os teoremas de derivadas para calcular f^{\prime}(x) se existir.
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}, \quad x_{0}=4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}
e pede duas coisas: (i) calcular \,f^{\prime}(x_{0}) em x_{0}=4 usando a definição de derivada; (ii) usar os teoremas de derivadas para obter \,f^{\prime}(x) quando existir. As informações relevantes são: a expressão de f(x) e o ponto x_{0}=4. A função só está definida para 1+x>0, isto é x>-1.

Passo 2

Lembrete da definição de derivada num ponto (a “aula” rápida): para uma função f e um ponto x_{0}, a derivada em x_{0} é o limite
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h},
quando esse limite existir. Aqui h é o incremento de x; a expressão dentro do limite é chamada de quociente diferencial. Nosso objetivo agora é aplicar essa definição para x_{0}=4.

Passo 3

Escrevo o quociente diferencial para x_{0}=4. Primeiro calculo f(4):
f(4)=\frac{4}{\sqrt{1+4}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.
O quociente diferencial é
\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =\frac{\dfrac{4+h}{\sqrt{5+h}}-\dfrac{4}{\sqrt{5}}}{h}.

Passo 4

Faço uma manipulação algébrica útil: escrevo o numerador de modo a separar um termo proporcional a h. Observando
\frac{4+h}{\sqrt{5+h}}-\frac{4}{\sqrt{5}} =4\Big(\frac{1}{\sqrt{5+h}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\Big)+h\cdot\frac{1}{\sqrt{5+h}}.
Dividindo por h obtemos
\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =4\cdot\frac{\dfrac{1}{\sqrt{5+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{h}+\frac{1}{\sqrt{5+h}}.
Assim o limite se transforma em soma de dois limites (quando existirem).

Passo 5

Preciso calcular
L=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{5+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{h}.
Faço a técnica do conjugado para avaliar esse limite sem usar regras prontas. Escrevo o numerador sobre um denominador comum e multiplico por \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5+h}}{\sqrt{5}+\sqrt{5+h}}:
\frac{\dfrac{1}{\sqrt{5+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{h} =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5+h}}{h\,\sqrt{5+h}\,\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5+h}}{h\,\sqrt{5+h}\,\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{5+h}}{\sqrt{5}+\sqrt{5+h}}.
No numerador aparece
(\sqrt{5}-\sqrt{5+h})(\sqrt{5}+\sqrt{5+h})=5-(5+h)=-h.
Substituindo:
\frac{\dfrac{1}{\sqrt{5+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{h} =\frac{-h}{h\,\sqrt{5+h}\,\sqrt{5}\,(\sqrt{5}+\sqrt{5+h})} =-\frac{1}{\sqrt{5+h}\,\sqrt{5}\,(\sqrt{5}+\sqrt{5+h})}.
Agora tomo o limite h\to0. Como \sqrt{5+h}\to\sqrt{5}, obtemos
L=-\frac{1}{\sqrt{5}\,\sqrt{5}\,( \sqrt{5}+\sqrt{5} )}=-\frac{1}{5\cdot 2\sqrt{5}}=-\frac{1}{10\sqrt{5}}.

Passo 6

Volto ao quociente diferencial e tomo o limite usando L. Lembre que
\lim_{h\to0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =4\cdot L + \lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{5+h}}.
Já temos L=-\dfrac{1}{10\sqrt{5}} e \lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{5+h}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}. Portanto
f^{\prime}(4)=4\!\left(-\frac{1}{10\sqrt{5}}\right)+\frac{1}{\sqrt{5}} =-\frac{4}{10\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{-2}{5\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{3}{5\sqrt{5}}.
Posso também racionalizar o denominador: multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5},
f^{\prime}(4)=\frac{3\sqrt{5}}{25}.

Passo 7

Agora calculo \,f^{\prime}(x) usando teoremas de derivadas (regras): reescrevo a função como produto e potência para aplicar regra do produto e regra da cadeia:
f(x)=x(1+x)^{-1/2}.
As regras que vou usar (lembrando de forma prática):
  • Derivada de x é 1.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se g(x)=(\text{algo})^{n}, então g'(x)=n(\text{algo})^{n-1}\cdot(\text{derivada do algo}).

Passo 8

Aplico a regra do produto:
f^{\prime}(x)=1\cdot(1+x)^{-1/2}+x\cdot\frac{d}{dx}\big((1+x)^{-1/2}\big).
Agora a derivada da potência pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big((1+x)^{-1/2}\big)=-\frac{1}{2}(1+x)^{-3/2}\cdot 1 =-\frac{1}{2}(1+x)^{-3/2}.
Substituindo:
f^{\prime}(x)=(1+x)^{-1/2}-\frac{x}{2}(1+x)^{-3/2}.

Passo 9

Simplifico fatorando (1+x)^{-3/2}:
f^{\prime}(x)=(1+x)^{-3/2}\big((1+x)-\tfrac{x}{2}\big) =(1+x)^{-3/2}\big(1+x-\tfrac{x}{2}\big) =(1+x)^{-3/2}\big(1+\tfrac{x}{2}\big).
Escrevendo de forma mais comum:
f^{\prime}(x)=\frac{1+\tfrac{x}{2}}{(1+x)^{3/2}}=\frac{2+x}{2(1+x)^{3/2}}.

Passo 10

Verificação e domínio: a expressão \dfrac{2+x}{2(1+x)^{3/2}} é válida para 1+x>0 (mesma condição de domínio de f), ou seja para x>-1. Em particular, substituindo x=4 obtemos
f^{\prime}(4)=\frac{2+4}{2(1+4)^{3/2}}=\frac{6}{2\cdot 5^{3/2}}=\frac{3}{5^{3/2}}=\frac{3}{5\sqrt{5}},
que coincide com o resultado obtido pela definição. Dica rápida para a prova: se pedirem derivada num ponto, você pode usar a definição (como fizemos) ou derivar a expressão geral e depois avaliar no ponto — ambas são estratégias válidas; a segunda costuma ser mais rápida quando se conhece as regras.

Resposta

f^{\prime}(4)=\dfrac{3}{5\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{25}\n f^{\prime}(x)=\dfrac{2+x}{2(1+x)^{3/2}},\quad x>-1

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