Utilize a definição de derivada para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right). Utilize os teoremas de derivadas para calcular f^{\prime}(x) se existir.
f(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}, \quad x_{0}=4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right) usando a definição de derivada no ponto x_{0}=4.
  2. Calcular f^{\prime}(x) (quando existir) usando os teoremas de derivadas (regras usuais).
As informações dadas são:
f(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}
e
x_{0}=4.

Passo 2

Antes de começar, vamos anotar o valor de f em x_{0}=4, porque isso vai aparecer na definição:
f(4)=\frac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+3}=\frac{2+1}{2+3}=\frac{3}{5}.
Também lembrando o domínio: \sqrt{x} exige x\ge 0. O denominador \sqrt{x}+3 nunca é zero para x\ge0 (pois \sqrt{x}\ge0 e \sqrt{x}+3\ge3), então o domínio de f é [0,\infty).

Passo 3

Vou usar a definição de derivada no ponto x_{0}=4:
f^{\prime}(4)=\lim_{h\to 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}.
Substituo f(4+h) e f(4):
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{4+h}+1}{\sqrt{4+h}+3}-\frac{3}{5}}{h}.

Passo 4

Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Coloco as duas frações sobre um denominador comum (ou seja, faço a subtração das frações):
\frac{\sqrt{4+h}+1}{\sqrt{4+h}+3}-\frac{3}{5} =\frac{5(\sqrt{4+h}+1)-3(\sqrt{4+h}+3)}{5(\sqrt{4+h}+3)}.
Calculo o numerador:
5(\sqrt{4+h}+1)-3(\sqrt{4+h}+3)=5\sqrt{4+h}+5-3\sqrt{4+h}-9=2\sqrt{4+h}-4.
Logo
\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =\frac{2\sqrt{4+h}-4}{5(\sqrt{4+h}+3)\,h}.

Passo 5

Fatorando 2 no numerador:
\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =\frac{2\big(\sqrt{4+h}-2\big)}{5(\sqrt{4+h}+3)\,h}.
Agora uso uma identidade muito útil para lidar com termos do tipo \sqrt{4+h}-2: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{4+h}+2 (a ideia do conjugado), porque
(\sqrt{4+h}-2)(\sqrt{4+h}+2)=(\sqrt{4+h})^2-2^2=4+h-4=h.
Então \sqrt{4+h}-2=\dfrac{h}{\sqrt{4+h}+2}. Substituindo isso:
\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =\frac{2\cdot \dfrac{h}{\sqrt{4+h}+2}}{5(\sqrt{4+h}+3)\,h}.

Passo 6

Agora o h cancela:
\frac{f(4+h)-f(4)}{h} =\frac{2}{5(\sqrt{4+h}+3)(\sqrt{4+h}+2)}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0. Ao fazer h\to 0, \sqrt{4+h}\to 2. Substituo diretamente:
f^{\prime}(4)=\lim_{h\to 0}\frac{2}{5(\sqrt{4+h}+3)(\sqrt{4+h}+2)} =\frac{2}{5(2+3)(2+2)}.
Calculo os fatores: 2+3=5 e 2+2=4. Portanto
f^{\prime}(4)=\frac{2}{5\cdot 5\cdot 4}=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}.

Passo 7

Agora vamos calcular f^{\prime}(x) em geral usando teoremas de derivação (regras usuais). Primeiro escrevo f como quociente u(x)/v(x) com
u(x)=\sqrt{x}+1=x^{1/2}+1,\qquad v(x)=\sqrt{x}+3=x^{1/2}+3.
As derivadas de u e v (regra do poder para x^{1/2}) são
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
A regra do quociente diz que, quando v(x)\neq 0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aplicando aqui:
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+3)-(\sqrt{x}+1)\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+3)^2}.

Passo 8

No numerador podemos fatorar \dfrac{1}{2\sqrt{x}}:
u'v-uv'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\big[(\sqrt{x}+3)-(\sqrt{x}+1)\big] =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Portanto
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+3)^2} =\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+3)^2}.

Passo 9

Sobre existência: a expressão encontrada para f'(x) tem \sqrt{x} no denominador, então ela só está definida para x>0. Em x=0 o denominador torna-se zero (ou a expressão tende a infinito), então f não é diferenciável em x=0 (pelo menos não com derivada finita). Para x>0 a fórmula vale e dá a derivada. Como checagem, evalua em x=4:
f'(4)=\frac{1}{\sqrt{4}\,(\sqrt{4}+3)^2}=\frac{1}{2\cdot 5^2}=\frac{1}{50},
que coincide com o resultado obtido pela definição — ótimo sinal de consistência.

Resposta

f^{\prime}(4)=\dfrac{1}{50}
f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+3)^2},\quad x>0

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