Utilize a definição de derivada para calcular
. Utilize os teoremas de derivadas para calcular
se existir.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular
usando a definição de derivada no ponto . - Calcular
(quando existir) usando os teoremas de derivadas (regras usuais).
As informações dadas são:
e
Passo 2
Antes de começar, vamos anotar o valor de
em
, porque isso vai aparecer na definição:
Também lembrando o domínio:
exige
. O denominador
nunca é zero para
(pois
e
), então o domínio de
é
.
Passo 3
Vou usar a definição de derivada no ponto
:
Substituo
e
:
Passo 4
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Coloco as duas frações sobre um denominador comum (ou seja, faço a subtração das frações):
Calculo o numerador:
Logo
Passo 5
Fatorando
no numerador:
Agora uso uma identidade muito útil para lidar com termos do tipo
: multiplicar numerador e denominador por
(a ideia do conjugado), porque
Então
. Substituindo isso:
Passo 6
Agora o
cancela:
Agora tomamos o limite quando
. Ao fazer
,
. Substituo diretamente:
Calculo os fatores:
e
. Portanto
Passo 7
Agora vamos calcular
em geral usando teoremas de derivação (regras usuais). Primeiro escrevo
como quociente
com
As derivadas de
e
(regra do poder para
) são
A regra do quociente diz que, quando
,
Aplicando aqui:
Passo 8
No numerador podemos fatorar
:
Portanto
Passo 9
Sobre existência: a expressão encontrada para
tem
no denominador, então ela só está definida para
. Em
o denominador torna-se zero (ou a expressão tende a infinito), então
não é diferenciável em
(pelo menos não com derivada finita). Para
a fórmula vale e dá a derivada. Como checagem, evalua em
:
que coincide com o resultado obtido pela definição — ótimo sinal de consistência.