Utilize a definição de derivada para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right). Utilize os teoremas de derivadas para calcular f^{\prime}(x) se existir.
f(x)=\sqrt{x^{2}+1}, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto x_{0} e pede duas coisas:
f(x)=\sqrt{x^{2}+1},\qquad x_{0}=0.
Perguntas:
  1. Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}\left(x_{0}\right).
  2. Usando os teoremas de derivadas, calcule f^{\prime}(x) quando existir.

Passo 2

Recordando a definição de derivada num ponto: para uma função f e ponto x_{0},
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h},
desde que esse limite exista. Vou aplicar isso com x_{0}=0. Substituindo f,
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{(0+h)^{2}+1}-\sqrt{0^{2}+1}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h^{2}+1}-1}{h}.

Passo 3

Para calcular o limite acima uso um truque clássico com radicais: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{h^{2}+1}+1. Isso evita a forma 0/0 e simplifica a expressão:
\frac{\sqrt{h^{2}+1}-1}{h}\cdot\frac{\sqrt{h^{2}+1}+1}{\sqrt{h^{2}+1}+1} =\frac{h^{2}+1-1}{h\bigl(\sqrt{h^{2}+1}+1\bigr)} =\frac{h^{2}}{h\bigl(\sqrt{h^{2}+1}+1\bigr)} =\frac{h}{\sqrt{h^{2}+1}+1}.

Passo 4

Agora tomo o limite quando h\to0. Observe que \sqrt{h^{2}+1}+1 tende para \sqrt{0+1}+1=2, e o numerador h tende para 0. Logo
\lim_{h\to0}\frac{h}{\sqrt{h^{2}+1}+1}=\frac{0}{2}=0.
Portanto, pela definição,
f^{\prime}(0)=0.

Passo 5

Agora vou usar os teoremas de derivadas (regra da cadeia e regra da potência) para encontrar f^{\prime}(x) em geral. Primeiro escrevo f numa forma que facilita aplicar regras:
f(x)=(x^{2}+1)^{1/2}.
Regra usada: se g(u)=u^{1/2} então g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. Se u(x)=x^{2}+1 então u'(x)=2x. Pela regra da cadeia, a derivada de g(u(x)) é g'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
f'(x)=\left((x^{2}+1)^{1/2}\right)'=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot(2x).
Cancelando os 2's e voltando à forma com raiz:
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 7

Verificação e observações úteis para a prova:
  • Verifico que a fórmula geral dá o mesmo resultado em x=0: substituindo x=0 obtém-se f'(0)=\dfrac{0}{\sqrt{0^{2}+1}}=0, consistente com o cálculo pela definição.
  • Sobre existência: como x^{2}+1\ge 1 para todo x\in\mathbb{R}, o argumento da raiz é sempre positivo, a função u\mapsto\sqrt{u} é diferenciável para u>0 e x\mapsto x^{2}+1 é diferenciável em todo \mathbb{R}. Pela regra da cadeia, f é diferenciável em todo \mathbb{R} e a fórmula acima vale para todo x\in\mathbb{R}.
  • Dica prática para a prova: para derivada num ponto com raiz, tente primeiro usar a definição; se aparecer 0/0 experimente multiplicar pelo conjugado. Para a derivada geral, escreva a função como potência e aplique a regra da cadeia.

Resposta

f'(0)=0
f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

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