Utilize a definição de derivada para calcular
. Utilize os teoremas de derivadas para calcular
se existir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
e pede duas coisas:
Perguntas:
- Usando a definição de derivada, calcule
. - Usando os teoremas de derivadas, calcule
quando existir.
Passo 2
Recordando a definição de derivada num ponto: para uma função
e ponto
,
desde que esse limite exista. Vou aplicar isso com
. Substituindo
,
Passo 3
Para calcular o limite acima uso um truque clássico com radicais: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. Isso evita a forma
e simplifica a expressão:
Passo 4
Agora tomo o limite quando
. Observe que
tende para
, e o numerador
tende para
. Logo
Portanto, pela definição,
Passo 5
Agora vou usar os teoremas de derivadas (regra da cadeia e regra da potência) para encontrar
em geral. Primeiro escrevo
numa forma que facilita aplicar regras:
Regra usada: se
então
. Se
então
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
Cancelando os
's e voltando à forma com raiz:
Passo 7
Verificação e observações úteis para a prova:
- Verifico que a fórmula geral dá o mesmo resultado em
: substituindo obtém-se , consistente com o cálculo pela definição. - Sobre existência: como
para todo , o argumento da raiz é sempre positivo, a função é diferenciável para e é diferenciável em todo . Pela regra da cadeia, é diferenciável em todo e a fórmula acima vale para todo . - Dica prática para a prova: para derivada num ponto com raiz, tente primeiro usar a definição; se aparecer
experimente multiplicar pelo conjugado. Para a derivada geral, escreva a função como potência e aplique a regra da cadeia.