Utilize a definição para provar que os limites existem:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite, que
Informações dadas:
- A função é
(a função identidade). - O ponto de interesse é
.
O que se pede: provar que, segundo a definição de limite, quandose aproxima de o valor de se aproxima de — isto é, mostrar formalmente que o limite existe e vale .
Passo 2
Vou escrever a definição
-
de limite (essa é a ferramenta que vamos usar). A definição diz:
Explicando as letras:
-
é um número positivo que representa “o quão perto queremos que esteja de ”. -
é um número positivo que representa “o quão perto devemos exigir que esteja de ” para garantir que esteja dentro de de .
Na prova precisamos, dado umarbitrário, indicar um (em função de ) e mostrar a implicação acima.
Passo 3
Calculo a quantidade que aparece na condição do limite para a nossa função identidade:
Ou seja, para esta função a diferença entre o valor da função e
é exatamente a diferença entre
e
. Isso já sugere que podemos ligar diretamente
e
.
Passo 4
Escolha padrão (a mais natural aqui): dado um
, defina
Agora verifico a definição com essa escolha. Suponha que
. Como
, então
Portanto, a condição exigida pela definição é satisfeita.
Passo 5
Concluímos que para todo
existe
(especificamente
) tal que
implica
. Isso é exatamente a prova, pela definição, de que
Dica prática para a prova na prova: escreva em poucas linhas — comece com “Seja
. Tome
. Se
então
. Logo
. Portanto
.” — e pronto, objetivo cumprido.