Utilize a definição para provar que os limites existem:
c) \lim_{x \to 6} x = 6

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite, que
\lim_{x \to 6} x = 6.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x (a função identidade).
  • O ponto de interesse é a=6.
    O que se pede: provar que, segundo a definição de limite, quando x se aproxima de 6 o valor de f(x) se aproxima de 6 — isto é, mostrar formalmente que o limite existe e vale 6.

Passo 2

Vou escrever a definição \varepsilon- \delta de limite (essa é a ferramenta que vamos usar). A definição diz:
\text{Para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } \delta>0 \text{ tal que, se } 0<|x-6|<\delta \text{ então } |f(x)-6|<\varepsilon.ã
Explicando as letras:
  • \varepsilon é um número positivo que representa “o quão perto queremos que f(x) esteja de 6”.
  • \delta é um número positivo que representa “o quão perto devemos exigir que x esteja de 6” para garantir que f(x) esteja dentro de \varepsilon de 6.
    Na prova precisamos, dado um \varepsilon>0 arbitrário, indicar um \delta>0 (em função de \varepsilon) e mostrar a implicação acima.

Passo 3

Calculo a quantidade que aparece na condição do limite para a nossa função identidade:
|f(x)-6| = |x-6|.
Ou seja, para esta função a diferença entre o valor da função e 6 é exatamente a diferença entre x e 6. Isso já sugere que podemos ligar diretamente \delta e \varepsilon.

Passo 4

Escolha padrão (a mais natural aqui): dado um \varepsilon>0, defina
\delta := \varepsilon.
Agora verifico a definição com essa escolha. Suponha que 0<|x-6|<\delta. Como \delta=\varepsilon, então
|f(x)-6| = |x-6| < \delta = \varepsilon.
Portanto, a condição exigida pela definição é satisfeita.

Passo 5

Concluímos que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon) tal que 0<|x-6|<\delta implica |f(x)-6|<\varepsilon. Isso é exatamente a prova, pela definição, de que
\lim_{x \to 6} x = 6.
Dica prática para a prova na prova: escreva em poucas linhas — comece com “Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\varepsilon. Se 0<|x-6|<\delta então |x-6|<\varepsilon. Logo |f(x)-6|<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to6}x=6.” — e pronto, objetivo cumprido.

Resposta

\;6\;