Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2(4+h)^{2}-32}{h}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{2(4+h)^{2}-32}{h}.
Informações dadas:
\text{a expressão a ser avaliada é } \frac{2(4+h)^{2}-32}{h}\quad\text{quando }h\to0.ãé
Observação útil (apenas identificação dos números dados): 32 é igual a 2\cdot 4^{2}.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada devagar): para uma função \;f\; e um ponto \;a\;, a derivada de f em a é definida por
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Aqui:
  • f(a+h) é o valor da função em um ponto ligeiramente deslocado por h,
  • f(a) é o valor da função no ponto base a,
  • e a fração \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é chamada de quociente diferencial ou quociente incremental. Intuitivamente, medida a taxa de variação média de f quando nos deslocamos de a para a+h; o limite quando h\to0 dá a taxa de variação instantânea (a derivada).

Passo 3

Identificação na expressão: note que, como eu observei antes, 32=2\cdot 4^{2}. Se definirmos a função
f(x)=2x^{2},
então
f(4+h)=2(4+h)^{2}\quad\text{e}\quad f(4)=2\cdot 4^{2}=32.
Assim a expressão do enunciado é exatamente o quociente
\frac{f(4+h)-f(4)}{h},
portanto o limite pedido é f'(4) segundo a definição da derivada.

Passo 4

Duas maneiras para chegar no valor de f'(4): (A) calcular o limite diretamente simplificando algebricamente o quociente incremental; (B) usar uma regra de derivação conhecida. Vou mostrar primeiro (A) passo a passo, porque isso é o que a definição pede e é o jeito que você pode fazer na prova sem decorar regras.

Passo 5

Cálculo direto simplificando o quociente:
(4+h)^{2}=16+8h+h^{2}.
Multiplicando por 2,
2(4+h)^{2}=32+16h+2h^{2}.
Subtraindo 32,
2(4+h)^{2}-32=16h+2h^{2}.
Dividindo por h (aqui assumimos h\neq0, o que é legítimo pois o limite considera h tendendo a 0 mas não igual a 0),
\frac{2(4+h)^{2}-32}{h}=\frac{16h+2h^{2}}{h}=16+2h.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}(16+2h)=16+2\cdot 0=16.

Passo 6

(Método alternativo rápido — interessante para conferir e útil na prova se você já conhece as regras.) Usando regra do poder e fator constante: para f(x)=2x^{2},
f'(x)=2\cdot \frac{d}{dx}(x^{2})=2\cdot 2x=4x.
Avaliando em x=4,
f'(4)=4\cdot 4=16.
Resultado coincide com o cálculo direto do passo anterior — bom sinal.

Passo 7

Interpretação final curta e encorajamento: o limite pedido é a derivada de f(x)=2x^{2} no ponto x=4. Fizemos a conta expandindo e cancelando h para ver explicitamente o comportamento quando h\to0. Se der branco na prova, lembrar de expandir e cancelar é uma técnica segura.

Resposta

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