1. Utilize a equação 1.12 juntamente com as expressões do problema anterior, para mostrar que, em uma mudança de temperatura as variações nas escalas Celsius, Fahrenheit, e Kelvin se relacionam da seguinte forma:
\begin{aligned} \Delta T_{C} & =\Delta T_{K} \\ \Delta T_{F} & =\frac{9}{5} \Delta T_{C} \\ \Delta T_{K} & =\frac{5}{9} \Delta T_{F} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para variações de temperatura, vale
\begin{aligned} \Delta T_{C} &= \Delta T_{K},\\[4pt] \Delta T_{F} &= \frac{9}{5}\,\Delta T_{C},\\[4pt] \Delta T_{K} &= \frac{5}{9}\,\Delta T_{F}. \end{aligned}
Informações relevantes (retiradas do problema anterior / fórmulas usuais de conversão de escalas):
T_{F} = \frac{9}{5}\,T_{C} + 32
T_{K} = T_{C} + 273{,}15
Aqui T_{C},T_{F},T_{K} representam temperaturas em Celsius, Fahrenheit e Kelvin, respectivamente. O símbolo \Delta T representa uma variação (diferença) de temperatura entre dois estados, por exemplo \Delta T_{C}=T_{C,2}-T_{C,1}.]

Passo 2

Entendendo o que é \Delta T e por que offsets somam/cancelam: se uma escala y depende linearmente de uma escala x via
y = a\,x + b,
onde a e b são constantes, então a variação entre dois estados 1 e 2 é
\Delta y = y_2-y_1 = a\,x_2 + b - (a\,x_1 + b) = a\,(x_2-x_1) = a\,\Delta x.
Observe que o termo b (o offset) cancela quando subtraímos; por isso, variações dependem só do fator de escala a. Vou usar esse princípio nas conversões entre escalas.

Passo 3

Derivando \Delta T_{F} = \dfrac{9}{5}\,\Delta T_{C}. Começo da fórmula de conversão Fahrenheit–Celsius:
T_{F} = \frac{9}{5}\,T_{C} + 32.
Considere dois estados 1 e 2. Fazendo a diferença:
\Delta T_{F} = T_{F,2}-T_{F,1} = \left(\frac{9}{5}T_{C,2}+32\right) - \left(\frac{9}{5}T_{C,1}+32\right).
As constantes 32 se cancelam:
\Delta T_{F} = \frac{9}{5}\,(T_{C,2}-T_{C,1}) = \frac{9}{5}\,\Delta T_{C}.
Interpretando: se a temperatura sobe 1 grau Celsius, sobe \tfrac{9}{5}=1{,}8 grau Fahrenheit. Exemplo prático: aumento de 10^\circC corresponde a 10\cdot 1{,}8 = 18^\circF.

Passo 4

Derivando \Delta T_{K} = \Delta T_{C}. Começo da fórmula Kelvin–Celsius:
T_{K} = T_{C} + 273{,}15.
Fazendo a diferença entre dois estados:
\Delta T_{K} = T_{K,2}-T_{K,1} = (T_{C,2}+273{,}15) - (T_{C,1}+273{,}15).
As constantes 273{,}15 se cancelam:
\Delta T_{K} = T_{C,2}-T_{C,1} = \Delta T_{C}.
Ou seja, um aumento de 1^\circC corresponde a um aumento de 1 kelvin; as unidades têm o mesmo tamanho de grau, só se diferenciam por um offset na origem.

Passo 5

Derivando \Delta T_{K} = \dfrac{5}{9}\,\Delta T_{F}. Podemos usar as duas relações já obtidas. Da relação do Passo 3 temos
\Delta T_{F} = \frac{9}{5}\,\Delta T_{C}.
Isolando \Delta T_{C}:
\Delta T_{C} = \frac{5}{9}\,\Delta T_{F}.
Do Passo 4 sabemos \Delta T_{K}=\Delta T_{C}, então juntando:
\Delta T_{K} = \Delta T_{C} = \frac{5}{9}\,\Delta T_{F}.
Portanto a variação em kelvin é \tfrac{5}{9} da variação em fahrenheit.

Passo 6

Resumo conceitual rápido e encorajamento: a razão pela qual os offsets 32 e 273{,}15 não aparecem nas relações de variação é que variação é diferença entre dois valores — constantes somadas desaparecem nas subtrações. As únicas coisas que importam para variações são os fatores de escala (como \tfrac{9}{5}). Vai dar certo na prova: quando pedirem variação, lembre-se desse cancelamento e aplique diretamente o fator de escala.

Resposta

\Delta T_{C} = \Delta T_{K}
\Delta T_{F} = \dfrac{9}{5}\,\Delta T_{C}
\Delta T_{K} = \dfrac{5}{9}\,\Delta T_{F}

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