Utilize limites Fundamentais para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{5 x}-1}{\sin (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{\sin(x)}
usando limites fundamentais, especificamente
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1\quad\text{e}\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de forma a usar esses limites:
\frac{e^{5x}-1}{\sin(x)} = \frac{e^{5x}-1}{5x}\;\cdot\;\frac{5x}{\sin(x)}.

Passo 3

Aplicamos o limite ao primeiro fator. Como u=5x tende a zero quando x\to 0, vale
\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{5x} = \lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u} = 1.

Passo 4

Agora o segundo fator. Usando \lim_{x\to0}\sin(x)/x=1 obtemos
\lim_{x\to0}\frac{5x}{\sin(x)} =5\;\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)} =5\;\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}\Bigr)^{-1} =5\cdot1 =5.

Passo 5

Como o limite do produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), temos
\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{\sin(x)} = 1\cdot5 = 5.

Resposta

5

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