Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem
Usos obrigatórios: encontrar a solução geral
. As informações dadas são: os coeficientes constantes da equação linear são
e
(para
e
respectivamente) e o termo não-homogêneo é
. A solução geral será a soma da solução da homogênea e de uma solução particular desta equação.
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada:
Explicação do procedimento (mini-aula): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo
, pois derivando obtemos
e
. Substituindo esses em cima obtemos uma equação em
chamada equação característica.
Forme a equação característica substituindo
:
Resolva essa equação quadrática. Podemos fatorar:
portanto as raízes são
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (essas constantes serão fixadas por condições iniciais, se houvessem).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Mini-aula sobre o método das constantes a determinar (undetermined coefficients): quando o termo não-homogêneo é uma função do tipo
, polinômio ou produto de polinômio por exponencial ou funções trigonométricas, fazemos uma “chute” (ansatz) de forma semelhante e determinamos constantes substituindo na equação. Especificamente, se o termo é
e
NÃO é raiz da equação característica, tentamos
. Se
é raiz de multiplicidade
, multiplicamos por
: tentamos
. Aqui o termo é
; observe que
é exatamente uma raiz da característica (temos
), com multiplicidade
. Logo há ressonância de ordem
e devemos multiplicar por
.
Portanto escolhemos o ansatz
onde
é a constante a determinar.
Passo 4
Calcule as derivadas de
. Use a regra do produto e que
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Aqui usei produto: derivada de
é
multiplicada por
, mais
vezes derivada de
que é
. Simplificando:
Passo 5
Substitua
,
e
na equação diferencial e determine
.
Compute o lado esquerdo:
Fatorando
:
Calcule o parêntese:
Portanto
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Assim
Logo a solução particular é
Passo 6
Escreva a solução geral somando a homogênea e a particular:
Dica prática para prova: sempre verifique primeiro se a forma do termo não-homogêneo coincide com soluções da homogênea (ressonância). Se coincidir, multiplique por
tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz na característica. Ao derivar, faça passo a passo e fatorize
para simplificar os cálculos.