Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem
y'' - 5y' + 6y = 3e^{3x}
Usos obrigatórios: encontrar a solução geral y(x). As informações dadas são: os coeficientes constantes da equação linear são -5 e 6 (para y' e y respectivamente) e o termo não-homogêneo é 3e^{3x}. A solução geral será a soma da solução da homogênea e de uma solução particular desta equação.

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada:
y'' - 5y' + 6y = 0.
Explicação do procedimento (mini-aula): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo y=e^{rx}, pois derivando obtemos y'=r e^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}. Substituindo esses em cima obtemos uma equação em r chamada equação característica.
Forme a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^{2} - 5r + 6 = 0.
Resolva essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^{2} - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=3. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes serão fixadas por condições iniciais, se houvessem).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y'' - 5y' + 6y = 3e^{3x}.
Mini-aula sobre o método das constantes a determinar (undetermined coefficients): quando o termo não-homogêneo é uma função do tipo e^{ax}, polinômio ou produto de polinômio por exponencial ou funções trigonométricas, fazemos uma “chute” (ansatz) de forma semelhante e determinamos constantes substituindo na equação. Especificamente, se o termo é Ke^{ax} e a NÃO é raiz da equação característica, tentamos y_{p}=A e^{ax}. Se a é raiz de multiplicidade m, multiplicamos por x^{m}: tentamos y_{p}=x^{m}A e^{ax}. Aqui o termo é 3e^{3x}; observe que a=3 é exatamente uma raiz da característica (temos r=3), com multiplicidade 1. Logo há ressonância de ordem 1 e devemos multiplicar por x.
Portanto escolhemos o ansatz
y_{p}(x)=A x e^{3x},
onde A é a constante a determinar.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{p}. Use a regra do produto e que \dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}.
Primeira derivada:
y_{p}' = A\frac{d}{dx}\big(x e^{3x}\big)=A\big(e^{3x}+3x e^{3x}\big)=A e^{3x}(1+3x).
Segunda derivada:
y_{p}'' = A\frac{d}{dx}\big(e^{3x}(1+3x)\big)=A\big(3e^{3x}(1+3x)+e^{3x}\cdot 3\big).
Aqui usei produto: derivada de e^{3x} é 3e^{3x} multiplicada por (1+3x), mais e^{3x} vezes derivada de (1+3x) que é 3. Simplificando:
y_{p}'' = A e^{3x}\big(3(1+3x)+3\big)=A e^{3x}(9x+6).

Passo 5

Substitua y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial e determine A.
Compute o lado esquerdo:
y_{p}'' - 5y_{p}' + 6y_{p} = A e^{3x}\big(9x+6\big) -5A e^{3x}\big(1+3x\big) +6A x e^{3x}.
Fatorando A e^{3x}:
= A e^{3x}\Big((9x+6) -5(1+3x) +6x\Big).
Calcule o parêntese:
(9x+6) -5(1+3x) +6x = 9x+6 -5 -15x +6x = (9x-15x+6x) + (6-5) = 0x + 1 = 1.
Portanto
y_{p}'' - 5y_{p}' + 6y_{p} = A e^{3x}\cdot 1 = A e^{3x}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito 3e^{3x}. Assim
A e^{3x} = 3 e^{3x} \quad\Rightarrow\quad A = 3.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=3x e^{3x}.

Passo 6

Escreva a solução geral somando a homogênea e a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+3x e^{3x}.
Dica prática para prova: sempre verifique primeiro se a forma do termo não-homogêneo coincide com soluções da homogênea (ressonância). Se coincidir, multiplique por x tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz na característica. Ao derivar, faça passo a passo e fatorize e^{ax} para simplificar os cálculos.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+3x e^{3x}