1. Utilize o método do fator integrante para resolver as equações diferenciais.
(c) \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x}=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x}=x^{2}
e pede que se resolva a equação usando o método do fator integrante. Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y em função de x.
  • A equação é escrita na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) com P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}.
  • Observação de domínio: a expressão P(x)=\dfrac{2}{x} não está definida em x=0, então consideraremos a solução para x\neq 0.

Passo 2

Explicação do método do fator integrante (a “aula rápida”): para uma equação linear de primeira ordem escrita como
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui, \mu(x) é uma função que, multiplicando toda a equação original, torna o lado esquerdo igual à derivada do produto \mu(x)y. Em outras palavras,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,Q(x).
Depois basta integrar ambos os lados e isolar y. Nesta explicação: P(x) é a função que multiplica y na equação original e Q(x) é o termo do lado direito.

Passo 3

Calcular o fator integrante para a nossa equação. Temos P(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}\,dx}=e^{2\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{2\ln|x|}.
Usando a identidade e^{\ln|x|^{2}}=|x|^{2}, obtemos \mu(x)=|x|^{2}. Como estamos trabalhando com x\neq0, podemos tomar \mu(x)=x^{2} (isto é legítimo porque |x|^{2}=x^{2} sempre). Assim escolhemos
\mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{2}. Fazendo isso:
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2y}{x}=x^{2}\cdot x^{2}.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x y = x^{4}.
Agora explique por que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y: calculando a derivada de x^{2}y pelo produto,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2x y,
que coincide exatamente com o lado esquerdo obtido. Portanto podemos escrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{4}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a equação
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{4}
para obter
x^{2}y=\int x^{4}\,dx.
Calcule a integral do lado direito: \int x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5}+C, onde C é a constante de integração. Assim
x^{2}y=\frac{x^{5}}{5}+C.

Passo 6

Isolar y. Dividindo ambos os lados por x^{2} (lembrando que x\neq 0):
y=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{x^{5}}{5}+C\right)=\frac{x^{3}}{5}+\frac{C}{x^{2}}.
Essa é a solução geral da equação diferencial no domínio x\neq 0. Observação didática: no exame, muitas vezes basta reconhecer o fator integrante e notar que ao multiplicar a equação a esquerda vira a derivada do produto; isto acelera bastante a solução.

Resposta

y=\frac{x^{3}}{5}+\frac{C}{x^{2}}