- Utilize o método do fator integrante para resolver as equações diferenciais.
(c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se resolva a equação usando o método do fator integrante. Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
em função de . - A equação é escrita na forma
com e . - Observação de domínio: a expressão
não está definida em , então consideraremos a solução para .
Passo 2
Explicação do método do fator integrante (a “aula rápida”): para uma equação linear de primeira ordem escrita como
o fator integrante
é definido por
Aqui,
é uma função que, multiplicando toda a equação original, torna o lado esquerdo igual à derivada do produto
. Em outras palavras,
Depois basta integrar ambos os lados e isolar
. Nesta explicação:
é a função que multiplica
na equação original e
é o termo do lado direito.
Passo 3
Calcular o fator integrante para a nossa equação. Temos
, então
Usando a identidade
, obtemos
. Como estamos trabalhando com
, podemos tomar
(isto é legítimo porque
sempre). Assim escolhemos
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo:
Agora explique por que o lado esquerdo é a derivada do produto
: calculando a derivada de
pelo produto,
que coincide exatamente com o lado esquerdo obtido. Portanto podemos escrever a equação como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a equação
para obter
Calcule a integral do lado direito:
, onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Isolar
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
):
Essa é a solução geral da equação diferencial no domínio
. Observação didática: no exame, muitas vezes basta reconhecer o fator integrante e notar que ao multiplicar a equação a esquerda vira a derivada do produto; isto acelera bastante a solução.