Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(b) lim x 0 e^-x^4-cos (x^2)x^4=k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite envolvendo as funções exponencial e cosseno:
lim x 0 e^-x^4-cos (x^2)x^4=k
Nosso objetivo é encontrar o valor real de que torna essa igualdade verdadeira. Para isso, vamos usar séries de potências, que são uma forma de expressar funções como soma infinita de termos envolvendo potências de . Isso vai nos ajudar a simplificar e calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir as funções e^u = 1 + u + u^22! + u^33! + cdots e e^-x^4 = 1 - x^4 + x^82! - x^123! + cdots em séries de potência.
A série de Taylor para cos(v) = 1 - v^22! + v^44! - cdots em torno de cos(x^2) = 1 - x^42 + x^824 - cdots é:
Substituindo :
Já a série de Taylor para em torno de é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expansões na expressão do limite:
e^-x^4 - cos(x^2) = (1 - x^4 + x^82 - cdots) - (1 - x^42 + x^824 - cdots)
Simplificando, os termos constantes (1) se cancelam:
e^-x^4 - cos(x^2) = -x^4 + x^82 - (-x^42 + x^824) + cdots = -x^42 + (x^82 - x^824) + cdots

Passo 4

Focando nos termos de menor ordem, que são os que mais influenciam o limite quando e^-x^4 - cos(x^2) approx -x^42 tende a 0:
e^-x^4-cos (x^2)x^4 approx -x^42x^4 = -12
Então, a expressão original do limite fica aproximada por:

Passo 5

Portanto, ao calcular o limite, os termos de ordem superior (como k = -12 ) vão a zero, e o valor que sobra é:

Resposta

O valor real de que torna válida a igualdade é .

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