Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite envolvendo as funções exponencial e cosseno:
Nosso objetivo é encontrar o valor real de
que torna essa igualdade verdadeira. Para isso, vamos usar séries de potências, que são uma forma de expressar funções como soma infinita de termos envolvendo potências de
. Isso vai nos ajudar a simplificar e calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir as funções
e
em séries de potência.
A série de Taylor para
em torno de
é:
Substituindo
:
Já a série de Taylor para
em torno de
é:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expansões na expressão do limite:
Simplificando, os termos constantes (1) se cancelam:
Passo 4
Focando nos termos de menor ordem, que são os que mais influenciam o limite quando
tende a 0:
Então, a expressão original do limite fica aproximada por:
Passo 5
Portanto, ao calcular o limite, os termos de ordem superior (como
) vão a zero, e o valor que sobra é:
Resposta
O valor real de
que torna válida a igualdade é
.