Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
integral raiz2+x^2x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do tópico de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica podemos usar. Observando a expressão x = raiz2 tantheta , vemos que ela se parece com a forma . Para integrais desse tipo, uma substituição comum é . Aqui, , então . Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = raiz2 sec^2theta , dtheta em termos de raiz2 + x^2 = raiz2 + 2 tan^2theta = raiz2(1 + tan^2theta) = raiz2 sectheta . Derivando ambos os lados em relação a :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral original:
integral raiz2 + x^2x^4 , dx = integral raiz2 sectheta(raiz2 tantheta)^4 cdot raiz2 sec^2theta , dtheta
Simplificando os termos:
= integral raiz2 sectheta4 tan^4theta cdot raiz2 sec^2theta , dtheta = integral 2 sec^3theta4 tan^4theta , dtheta = 12 integral sec^3thetatan^4theta , dtheta
Lembrando que = 12 integral sec^3thetatan^4theta , dtheta = 12 integral 1cos^3theta(sinthetacostheta)^4 , dtheta = 12 integral costhetasin^4theta , dtheta e , podemos reescrever a integral em termos de e :

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para integrar mais facilmente. Seja 12 integral 1u^4 , du = 12 integral u^-4 , du = 12 ( u^-3-3 ) + C = -16 u^-3 + C , então - 16 1sin^3theta + C . A integral fica:
sintheta = xraiz2 + x^2
Substituindo - 16 ( raiz2 + x^2x )^3 + C = - (2 + x^2)^3/26x^3 + C de volta:
Lembrando que , podemos expressar em termos de . Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados