Utilize as tabelas adequadas e determine:
(2,5) f(t) para F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+3 s+1\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
O enunciado nos dá a função no domínio de Laplace
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+3s+1\right)}
e pede para determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).
Informações relevantes fornecidas:
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+3s+1\right)}.
Nada mais é dado (por exemplo, valores de t), então vamos encontrar f(t) para t\ge0.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática curta).
Para encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} a maneira mais direta é decompor F(s) em frações parciais que correspondam a entradas da tabela de transformadas de Laplace. Isso é útil porque tabelas trazem pares como
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\operatorname{cosh}(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2-b^2},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\operatorname{sinh}(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2-b^2}.
Vou usar essas correspondências após decompor F(s).

Passo 3

Decomposição em frações parciais.
Proponho a forma
\frac{4(s+15)}{s(s^2+3s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+3s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+3s+1) obtemos a identidade polinomial
4(s+15)=A(s^2+3s+1)+(Bs+C)s.
Expandindo o lado direito:
4(s+15)=A s^2+3A s + A + B s^2 + C s.
Agrupando coeficientes:
4s+60=(A+B)s^2+(3A+C)s + A.
Igualando coeficientes dos polinômios (termos em s^2, s e constante) obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 3A+C=4,\\[4pt] A=60. \end{cases}]

Passo 4

Resolução do sistema para encontrar A,B,C.
Da terceira equação temos
A=60.
Da primeira segue
B=-A=-60.
Da segunda,
3A+C=4 \implies 3\cdot 60 + C =4 \implies 180 + C =4 \implies C = -176.
Portanto os coeficientes são
A=60,\quad B=-60,\quad C=-176.
Logo a decomposição é
\frac{4(s+15)}{s(s^2+3s+1)}=\frac{60}{s}+\frac{-60s-176}{s^2+3s+1}.

Passo 5

Preparar o termo quadrático para uso das entradas da tabela (completar quadrado).
Para inverter a parte com s^2+3s+1 convém escrever o denominador em termos de (s+a)^2-b^2. Primeiro reescrevo o numerador do segundo termo:
-60s-176=-60\bigl(s+\tfrac{3}{2}\bigr)-86,
porque -60(s+\tfrac{3}{2})=-60s-90 e então adicionando -86 obtemos -60s-176.
Agora completo o quadrado no denominador:
s^2+3s+1=\bigl(s+\tfrac{3}{2}\bigr)^2-\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+1=\bigl(s+\tfrac{3}{2}\bigr)^2-\tfrac{9}{4}+1=\bigl(s+\tfrac{3}{2}\bigr)^2-\tfrac{5}{4}.
Logo podemos ver
s^2+3s+1=\bigl(s+\tfrac{3}{2}\bigr)^2-\left(\tfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2.
Usarei então a=\tfrac{3}{2} e b=\tfrac{\sqrt{5}}{2} nas correspondências da tabela.

Passo 6

Separar as frações em termos que correspondam a funções conhecidas na tabela.
Escrevemos
\frac{-60s-176}{s^2+3s+1} = -60\cdot\frac{s+\tfrac{3}{2}}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2} \;-\;86\cdot\frac{1}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2}.
Portanto
F(s)=\frac{60}{s}-60\cdot\frac{s+\tfrac{3}{2}}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2}-86\cdot\frac{1}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2}.

Passo 7

Usar a tabela de transformadas e inverter termo a termo (aulas sobre as fórmulas usadas).
Lembre as fórmulas (aqui explico cada variável):
  • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{60}{s}\right\}=60.
  • Para a=\tfrac{3}{2} e b=\tfrac{\sqrt{5}}{2} temos as fórmulas \mathcal{L}\{e^{-a t}\operatorname{cosh}(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2-b^2},
\mathcal{L}\{e^{-a t}\operatorname{sinh}(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2-b^2}.
Nas fórmulas: a é o deslocamento no eixo s (produz fator e^{-a t} no tempo) e b determina a parte hiperbólica (cosh/sinh) com frequência hiperbólica.
Aplicando essas correspondências:
  • \displaystyle -60\cdot\frac{s+\tfrac{3}{2}}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2} tem inversa -60\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr).
  • \displaystyle -86\cdot\frac{1}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2} corresponde a -86 vezes a transformada inversa de 1/((s+a)^2-b^2). Como \mathcal{L}\{e^{-at}\operatorname{sinh}(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2-b^2},temos \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^2-b^2}\right\}=\frac{1}{b}e^{-at}\operatorname{sinh}(bt).Assim a inversa do termo é -86\cdot\frac{1}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr) =-\frac{172}{\sqrt{5}}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr).

Passo 8

Juntar todos os termos e, se quiser, simplificar usando exponenciais reais.
Somando tudo obtemos inicialmente a forma com hiperbólicas:
f(t)=60-60\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr) -\frac{172}{\sqrt{5}}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr).
Se preferir escrever como soma de expoenciais reais: definindo \alpha=\tfrac{3-\sqrt{5}}{2} e \beta=\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}, usando
e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-\alpha t}+e^{-\beta t}\bigr),
e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\bigr),
chegamos à forma
f(t)=60+\bigl(-30-\tfrac{86}{\sqrt{5}}\bigr)e^{-\alpha t}+\bigl(-30+\tfrac{86}{\sqrt{5}}\bigr)e^{-\beta t}.

Resposta

f(t)=60-60\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr) -\frac{172}{\sqrt{5}}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr).
\text{(equivalentemente)}\qquad f(t)=60+\Bigl(-30-\frac{86}{\sqrt{5}}\Bigr)e^{-\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}t} +\Bigl(-30+\frac{86}{\sqrt{5}}\Bigr)e^{-\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}t}.

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