Utilize as tabelas adequadas e determine: (2,5) f(t) para F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+3 s+1\right)}
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
O enunciado nos dá a função no domínio de Laplace
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+3s+1\right)}
e pede para determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).
Informações relevantes fornecidas:
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+3s+1\right)}.
Nada mais é dado (por exemplo, valores de t), então vamos encontrar f(t) para t\ge0.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática curta).
Para encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} a maneira mais direta é decompor F(s) em frações parciais que correspondam a entradas da tabela de transformadas de Laplace. Isso é útil porque tabelas trazem pares como
Nas fórmulas: a é o deslocamento no eixo s (produz fator e^{-a t} no tempo) e b determina a parte hiperbólica (cosh/sinh) com frequência hiperbólica.
Aplicando essas correspondências:
\displaystyle -60\cdot\frac{s+\tfrac{3}{2}}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2} tem inversa-60\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr).
\displaystyle -86\cdot\frac{1}{(s+\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{\sqrt{5}}{2})^2} corresponde a -86 vezes a transformada inversa de 1/((s+a)^2-b^2). Como\mathcal{L}\{e^{-at}\operatorname{sinh}(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2-b^2},temos\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^2-b^2}\right\}=\frac{1}{b}e^{-at}\operatorname{sinh}(bt).Assim a inversa do termo é-86\cdot\frac{1}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr) =-\frac{172}{\sqrt{5}}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2}t\bigr).
Passo 8
Juntar todos os termos e, se quiser, simplificar usando exponenciais reais.
Somando tudo obtemos inicialmente a forma com hiperbólicas: