Utilize as tabelas adequadas e determine:
para
Passo 1
O enunciado fornece a transformada de Laplace
e pede para determinar
, ou seja, a transformada inversa de
. As informações relevantes que temos são:
- A expressão de
dada acima. - O denominador pode ser fatorado (isso será útil na resolução).
- O objetivo final é encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Vamos relembrar a propriedade básica da tabela de transformadas que vamos usar: a transformada de Laplace de uma exponencial decrescente é
onde
é uma constante real e
é a variável do domínio de Laplace. Isso implica que a transformada inversa da função racional
é
Na prática, ao decompor
em frações da forma
, cada parcela se transforma em uma constante multiplicando
.
Passo 3
Primeiro fatoramos o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
Então escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Desenvolvendo o lado direito:
Comparando coeficientes dos polinômios do lado esquerdo e direito temos o sistema linear
Agora resolvemos o sistema. Da primeira equação (A=4-B]. Substituindo na segunda:
Logo
Portanto a decomposição em frações parciais é
]
Logo
Portanto a decomposição em frações parciais é
Passo 4
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando a tabela citada no Passo 2:
Somando as parcelas, obtemos
Passo 5
(Função de verificação) Para checar rapidamente, calculamos a transformada de Laplace de
:
Reunindo em denominador comum
obtemos
que é exatamente
. Logo a inversa calculada está correta.