Utilize as tabelas adequadas e determine:
(2,5) f(t) para F(s)=\frac{4(s+15)}{\left(s^{2}+5 s+6\right)}

Passo 1

O enunciado fornece a transformada de Laplace
F(s)=\frac{4(s+15)}{s^{2}+5s+6}
e pede para determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de F(s). As informações relevantes que temos são:
  • A expressão de F(s) dada acima.
  • O denominador pode ser fatorado (isso será útil na resolução).
  • O objetivo final é encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Vamos relembrar a propriedade básica da tabela de transformadas que vamos usar: a transformada de Laplace de uma exponencial decrescente é
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},
onde a é uma constante real e s é a variável do domínio de Laplace. Isso implica que a transformada inversa da função racional \frac{1}{s+a} é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
Na prática, ao decompor F(s) em frações da forma \frac{\text{constante}}{s+a}, cada parcela se transforma em uma constante multiplicando e^{-a t}.

Passo 3

Primeiro fatoramos o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
s^{2}+5s+6=(s+2)(s+3).
Então escrevemos F(s)\) como soma de frações simples: \[\frac{4(s+15)}{(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s+3) obtemos a identidade polinomial
4s+60 = A(s+3)+B(s+2).
Desenvolvendo o lado direito:
A(s+3)+B(s+2)=(A+B)s+(3A+2B).
Comparando coeficientes dos polinômios do lado esquerdo e direito temos o sistema linear
\begin{cases} A+B=4,\\[4pt] 3A+2B=60. \end{cases}
Agora resolvemos o sistema. Da primeira equação (A=4-B]. Substituindo na segunda:
3(4-B)+2B=60 \Rightarrow 12-3B+2B=60 \Rightarrow 12-B=60 \Rightarrow B=-48.
Logo
A=4-B=4-(-48)=52.
Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{4(s+15)}{(s+2)(s+3)}=\frac{52}{s+2}-\frac{48}{s+3}.]

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando a tabela citada no Passo 2:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{52}{s+2}\right\}=52e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-48}{s+3}\right\}=-48e^{-3t}.
Somando as parcelas, obtemos
f(t)=52e^{-2t}-48e^{-3t}.

Passo 5

(Função de verificação) Para checar rapidamente, calculamos a transformada de Laplace de f(t):
\mathcal{L}\{52e^{-2t}-48e^{-3t}\}=\frac{52}{s+2}-\frac{48}{s+3}.
Reunindo em denominador comum (s+2)(s+3) obtemos
\frac{52(s+3)-48(s+2)}{(s+2)(s+3)}=\frac{52s+156-48s-96}{(s+2)(s+3)}=\frac{4s+60}{(s+2)(s+3)},
que é exatamente F(s). Logo a inversa calculada está correta.

Resposta

f(t)=52e^{-2t}-48e^{-3t}

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