Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes formas de argumento.
  1. \mathrm{M} \rightarrow(\mathrm{V} \leftrightarrow \mathrm{P})
  2. \mathrm{P} \wedge \mathrm{V}
  3. \therefore \mathrm{M}

Passo 1

O que o problema pede: verificar, usando o tableau semântico, se o seguinte argumento é válido:
\begin{aligned} &1.\\ \mathrm{M}\rightarrow(\mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P})\\\ &2.\\ \mathrm{P}\wedge\mathrm{V}\\\ &\therefore\\ \mathrm{M} \end{aligned}
Informações dadas (premissas) e o que devemos testar:
  • Premissa 1: \mathrm{M}\rightarrow(\mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P}).
  • Premissa 2: \mathrm{P}\wedge\mathrm{V}.
  • Conclusão: \mathrm{M}.
    Objetivo concreto do tableau: assumir todas as premissas verdadeiras e a negação da conclusão verdadeira (ou seja, assumir \neg\mathrm{M} true) e ver se o tableau fecha (todas as ramificações levam a contradição) ou se existe alguma ramificação aberta (um modelo/contramodelo). Se houver ramificação aberta, o argumento é inválido; se todas fecharem, o argumento é válido.

Passo 2

Regra do jogo (como o tableau semântico funciona, explicado passo a passo):
  • Para testar validade, colocamos como ponto de partida (na raiz do tableau) todas as premissas como verdadeiras e a negação da conclusão como verdadeira.
  • Expandimos as fórmulas aplicando as regras sintáticas para conectivos, gerando fórmulas adicionais em cada ramo.
  • Uma ramificação se fecha quando contém uma fórmula A e sua negação \neg A (contradição explícita).
  • Se ao final existir pelo menos um ramo aberto (sem contradição), encontramos um contramodelo: uma atribuição de verdade às proposições atômicas que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa — logo o argumento é inválido.
    Vou usar as regras padrão para fórmulas verdadeiras:
  • \mathrm{A}\wedge\mathrm{B} (verdadeira) gera em mesmo ramo \mathrm{A} e \mathrm{B}.
  • \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B} (verdadeira) gera ramo dividido: ou \neg\mathrm{A} (antecedente falso) OU \mathrm{B} (consequente verdadeiro).
  • \mathrm{A}\leftrightarrow\mathrm{B} (verdadeira) gera ramo dividido: ou ( \mathrm{A} e \mathrm{B}) OU ( \neg\mathrm{A} e \neg\mathrm{B}).

Passo 3

Escrevendo a raiz do tableau (assumimos premissas verdadeiras e a negação da conclusão verdadeira):
\begin{aligned} &\mathrm{M}\rightarrow(\mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P})\quad\text{(verdadeira)}\\\ &\mathrm{P}\wedge\mathrm{V}\quad\text{(verdadeira)}\\\ &\neg\mathrm{M}\quad\text{(verdadeira, pois negamos a conclusão)} \end{aligned}ã
Agora vamos expandir usando as regras do passo anterior.

Passo 4

Expandindo \mathrm{P}\wedge\mathrm{V} (regra da conjunção verdadeira):
  • De \mathrm{P}\wedge\mathrm{V} verdadeira obtemos no mesmo ramo:
\mathrm{P}\quad\text{(verdadeira)}
\mathrm{V}\quad\text{(verdadeira)}
Então o ramo atual contém: \mathrm{M}\rightarrow(\mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P}),\\ \mathrm{P},\\ \mathrm{V},\\ \neg\mathrm{M}.

Passo 5

Agora expandimos \mathrm{M}\rightarrow(\mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P}) (regra do condicional verdadeiro): gera ramificação em dois ramos alternativos:
  • Ramo A: \neg\mathrm{M} (antecedente falso)
  • Ramo B: \mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P} (consequente verdadeiro)
    Como \neg\mathrm{M} já está na lista do ramo atual, o Ramo A simplesmente confirma algo que já temos; vamos escrever explicitamente os dois ramos.

Passo 6

Descrevendo os dois ramos gerados:
Ramo A (esquerdo):
\{\\ \neg\mathrm{M},\\ \mathrm{P},\\ \mathrm{V}\\ \}
Ramo B (direito):
\{\\ \mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P},\\ \mathrm{P},\\ \mathrm{V},\\ \neg\mathrm{M}\\ \}
Agora analisamos cada ramo separadamente procurando contradições e expandindo mais quando necessário.

Passo 7

Analisando Ramo A:
  • Ramo A contém \neg\mathrm{M}, \mathrm{P} e \mathrm{V}.
  • Não contém \mathrm{M}. Logo não há par A e \neg A para nenhuma atômica.
  • Portanto Ramo A está aberto (não fecha). Isso já indica que pode haver um contramodelo — mas por completude do método também verificamos Ramo B para entender toda a estrutura.

Passo 8

Expandindo Ramo B: temos \mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P} (verdadeira). Regra do bicondicional verdadeiro: divide em dois subramos:
  • Subramo B1: \mathrm{V} e \mathrm{P} (ambos verdadeiros).
  • Subramo B2: \neg\mathrm{V} e \neg\mathrm{P} (ambos verdadeiros no sentido de estarem na lista do ramo).
    Lembre-se que já tínhamos \mathrm{P} e \mathrm{V} no Ramo B antes da expansão.

Passo 9

Analisando Subramo B1:
  • Subramo B1 contém \mathrm{P} e \mathrm{V} (vindos tanto da premissa quanto da expansão do bicondicional) e \neg\mathrm{M}.
  • Não há \mathrm{M} contradizendo \neg\mathrm{M}.
  • Logo Subramo B1 também está aberto.
Analisando Subramo B2:
  • Subramo B2 contém \neg\mathrm{V} e \neg\mathrm{P} além de \mathrm{V} e \mathrm{P} que já vinham das premissas.
  • Aqui temos contradições explícitas: \mathrm{V} contrapõe \neg\mathrm{V} e \mathrm{P} contrapõe \neg\mathrm{P}.
  • Portanto Subramo B2 fecha.

Passo 10

Conclusão do tableau:
  • Encontramos pelo menos um ramo aberto (Ramo A e Subramo B1 estão abertos).
  • Como nem todas as ramificações fecharam, o tableau não fecha completamente.
  • Um ramo aberto significa que existe uma atribuição de valores verdadeiros/falsos às atômicas que torna verdadeiras as premissas e a negação da conclusão — isto é, existe um contramodelo. Logo o argumento é inválido.

Passo 11

Extraindo explicitamente um contramodelo a partir de um ramo aberto (por exemplo Ramo A ou Subramo B1): lemos as fórmulas atômicas e negadas que aparecem no ramo e atribuímos valores coerentes.
Um ramo aberto contém:
\neg\mathrm{M},\\ \mathrm{P},\\ \mathrm{V}.
Isto sugere a atribuição:
\mathrm{M}=\text{F},\quad \mathrm{P}=\text{T},\quad \mathrm{V}=\text{T}.
Verificação rápida:
  • \mathrm{P}\wedge\mathrm{V} é verdadeira, pois \mathrm{P}=\text{T} e \mathrm{V}=\text{T}.
  • \mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P} é verdadeira (ambos verdadeiros), então \mathrm{M}\rightarrow(\mathrm{V}\leftrightarrow\mathrm{P}) é verdadeira mesmo com \mathrm{M}=\text{F} (uma implicação com antecedente falso é verdadeira).
  • A conclusão \mathrm{M} é falsa ( \mathrm{M}=\text{F}).
    Portanto temos um modelo que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa: é um contramodelo real.

Resposta

Inválido. Contramodelo: \mathrm{M}=\text{F},\\ \mathrm{P}=\text{T},\\ \mathrm{V}=\text{T}.

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