Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes formas de argumento.
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Passo 1
O que o problema pede: verificar, usando o tableau semântico, se o seguinte argumento é válido:
Informações dadas (premissas) e o que devemos testar:
- Premissa 1:
. - Premissa 2:
. - Conclusão:
.
Objetivo concreto do tableau: assumir todas as premissas verdadeiras e a negação da conclusão verdadeira (ou seja, assumirtrue) e ver se o tableau fecha (todas as ramificações levam a contradição) ou se existe alguma ramificação aberta (um modelo/contramodelo). Se houver ramificação aberta, o argumento é inválido; se todas fecharem, o argumento é válido.
Passo 2
Regra do jogo (como o tableau semântico funciona, explicado passo a passo):
- Para testar validade, colocamos como ponto de partida (na raiz do tableau) todas as premissas como verdadeiras e a negação da conclusão como verdadeira.
- Expandimos as fórmulas aplicando as regras sintáticas para conectivos, gerando fórmulas adicionais em cada ramo.
- Uma ramificação se fecha quando contém uma fórmula
e sua negação (contradição explícita). - Se ao final existir pelo menos um ramo aberto (sem contradição), encontramos um contramodelo: uma atribuição de verdade às proposições atômicas que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa — logo o argumento é inválido.
Vou usar as regras padrão para fórmulas verdadeiras: -
(verdadeira) gera em mesmo ramo e . -
(verdadeira) gera ramo dividido: ou (antecedente falso) OU (consequente verdadeiro). -
(verdadeira) gera ramo dividido: ou ( e ) OU ( e ).
Passo 3
Escrevendo a raiz do tableau (assumimos premissas verdadeiras e a negação da conclusão verdadeira):
Agora vamos expandir usando as regras do passo anterior.
Passo 4
Expandindo
(regra da conjunção verdadeira):
- De
verdadeira obtemos no mesmo ramo:
Então o ramo atual contém:
Passo 5
Agora expandimos
(regra do condicional verdadeiro): gera ramificação em dois ramos alternativos:
- Ramo A:
(antecedente falso) - Ramo B:
(consequente verdadeiro)
Comojá está na lista do ramo atual, o Ramo A simplesmente confirma algo que já temos; vamos escrever explicitamente os dois ramos.
Passo 6
Descrevendo os dois ramos gerados:
Ramo A (esquerdo):
Ramo A (esquerdo):
Ramo B (direito):
Agora analisamos cada ramo separadamente procurando contradições e expandindo mais quando necessário.
Passo 7
Analisando Ramo A:
- Ramo A contém
, e . - Não contém
. Logo não há par e para nenhuma atômica. - Portanto Ramo A está aberto (não fecha). Isso já indica que pode haver um contramodelo — mas por completude do método também verificamos Ramo B para entender toda a estrutura.
Passo 8
Expandindo Ramo B: temos
(verdadeira). Regra do bicondicional verdadeiro: divide em dois subramos:
- Subramo B1:
e (ambos verdadeiros). - Subramo B2:
e (ambos verdadeiros no sentido de estarem na lista do ramo).
Lembre-se que já tínhamose no Ramo B antes da expansão.
Passo 9
Analisando Subramo B1:
- Subramo B1 contém
e (vindos tanto da premissa quanto da expansão do bicondicional) e . - Não há
contradizendo . - Logo Subramo B1 também está aberto.
Analisando Subramo B2:
- Subramo B2 contém
e além de e que já vinham das premissas. - Aqui temos contradições explícitas:
contrapõe e contrapõe . - Portanto Subramo B2 fecha.
Passo 10
Conclusão do tableau:
- Encontramos pelo menos um ramo aberto (Ramo A e Subramo B1 estão abertos).
- Como nem todas as ramificações fecharam, o tableau não fecha completamente.
- Um ramo aberto significa que existe uma atribuição de valores verdadeiros/falsos às atômicas que torna verdadeiras as premissas e a negação da conclusão — isto é, existe um contramodelo. Logo o argumento é inválido.
Passo 11
Extraindo explicitamente um contramodelo a partir de um ramo aberto (por exemplo Ramo A ou Subramo B1): lemos as fórmulas atômicas e negadas que aparecem no ramo e atribuímos valores coerentes.
Um ramo aberto contém:
Isto sugere a atribuição:
Um ramo aberto contém:
Isto sugere a atribuição:
Verificação rápida:
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é verdadeira, pois e . -
é verdadeira (ambos verdadeiros), então é verdadeira mesmo com (uma implicação com antecedente falso é verdadeira). - A conclusão
é falsa ( ).
Portanto temos um modelo que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa: é um contramodelo real.
Resposta
Inválido. Contramodelo:
.