Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de fronteira do parabolóide
com
com orientação ascendente (observe que a curva de fronteira está exatamente sobre o plano xy).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é
. A curva
é a fronteira do parabolóide
onde
, e está no plano
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Stokes, temos:
Onde
é uma superfície limitada por
e
é o vetor normal à superfície. Vamos escolher
como a parte do plano
que está dentro da curva
. Isso simplifica a integral porque o plano
tem normal na direção do eixo
, ou seja,
.
Passo 4
Com a escolha da superfície
no plano
, a integral se torna:
Então, precisamos calcular
vezes a área da superfície
.
Passo 5
A curva
é a fronteira do parabolóide
com
, o que significa que no plano
, a curva
é o círculo
. A área de um círculo de raio
é
, então aqui
, e a área é
.
Passo 6
Agora, multiplicamos a área pela constante da integral: