Utilize o Teste da Razão para determinar se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Razão na série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}}, que é uma série de termos positivos. Vamos definir o termo geral a_n, calcular a_{n+1}, formar o quociente \tfrac{a_{n+1}}{a_n} e estudar o limite desse quociente quando n\to\infty.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n \;=\;\frac{(n-1)!}{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}}.

Passo 3

O termo seguinte é
a_{n+1} \;=\;\frac{n!}{\bigl((n+2)!\bigr)^{2}}.

Passo 4

O quociente entre termos consecutivos fica
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\displaystyle\frac{n!}{\bigl((n+2)!\bigr)^{2}}} {\displaystyle\frac{(n-1)!}{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}}} =\frac{n!}{(n-1)!}\;\cdot\;\frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}}{\bigl((n+2)!\bigr)^{2}} =n\;\cdot\;\frac{1}{(n+2)^{2}} =\frac{n}{(n+2)^{2}}.

Passo 5

Calculamos o limite
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n+2)^{2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\bigl(1+2/n\bigr)^{2}} =0.

Passo 6

Pelo Teste da Razão, se L<1 a série converge absolutamente. Como obtivemos L=0<1, concluímos que
a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}} converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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