1. Se V=\mathbb{R}^{2} e v_{1}=(1,2), v_{2}=(3,4), verifique se w=(17,17) é combinação linear de v_{1} e v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O espaço vetorial é V=\mathbb{R}^{2}.
  • v_{1}=(1,2).
  • v_{2}=(3,4).
  • w=(17,17).
O que o enunciado pede:
  • Verificar se w é combinação linear de v_{1} e v_{2}; ou seja, se existem escalares a e b tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}=w.

Passo 2

O que é verificar que w é combinação linear de v_{1} e v_{2}.
  • Definição: dizer que w é combinação linear de v_{1} e v_{2} significa que existem números reais a e b tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}=w.
  • Procedimento prático: escrever a igualdade componente a componente e resolver o sistema linear para a e b.

Passo 3

Montar o sistema componente a componente a partir de
a\,(1,2)+b\,(3,4)=(17,17).
Isso dá o sistema de duas equações:
\begin{cases} a+3b=17,\\[4pt] 2a+4b=17. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por 2 para eliminar a:
\begin{cases} 2a+6b=34,\\[4pt] 2a+4b=17. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(2a+6b)-(2a+4b)=34-17
2b=17.
Logo
b=\dfrac{17}{2}.]

Passo 5

Agora encontro a substituindo b em a+3b=17:
a+3\cdot\dfrac{17}{2}=17.
Calculo o produto:
3\cdot\dfrac{17}{2}=\dfrac{51}{2}.
Assim
a=\;17-\dfrac{51}{2}=\dfrac{34}{2}-\dfrac{51}{2}=-\dfrac{17}{2}.

Passo 6

Verificação final — calcular a\,v_{1}+b\,v_{2} com os valores encontrados:
-\dfrac{17}{2}\,(1,2)+\dfrac{17}{2}\,(3,4)
=\left(-\dfrac{17}{2}\cdot 1+\dfrac{17}{2}\cdot 3,\; -\dfrac{17}{2}\cdot 2+\dfrac{17}{2}\cdot 4\right)
=\left(-\dfrac{17}{2}+\dfrac{51}{2},\; -\dfrac{34}{2}+\dfrac{68}{2}\right)
=\left(\dfrac{34}{2},\;\dfrac{34}{2}\right)=(17,17).
Portanto a conta confere: com esses a e b obtemos exatamente w.

Passo 7

Interpretação bonita e rápida: os coeficientes encontrados são a=-\dfrac{17}{2} e b=\dfrac{17}{2}. Uma forma compacta é
w=\dfrac{17}{2}\,(v_{2}-v_{1}),
o que também dá (17,17).

Resposta

Sim. w=-\dfrac{17}{2}\,v_{1}+\dfrac{17}{2}\,v_{2}