(Valor =1,0) Considere o seguinte campo de velocidade em coordenadas cartesianas:
Equações:
\begin{aligned} & u=2 x^{2}+y^{2}-x^{2} y \\\ & v=x^{3}+x\left(y^{2}-2 y\right) \end{aligned}
Este escoamento é incompressível? Demonstre.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade no plano com componentes:
u=2 x^{2}+y^{2}-x^{2} y
v=x^{3}+x\left(y^{2}-2 y\right)
A pergunta é: “Este escoamento é incompressível?” — ou seja, verificar se o campo de velocidade satisfaz a condição de incompressibilidade e demonstrar por quê.

Passo 2

Lembrete do que significa “incompressível” aqui: para um escoamento bidimensional (dependendo de x e y apenas e sem componente w em z) a condição de incompressibilidade é que a divergência do campo de velocidade seja nula em todo o domínio. Em fórmulas:
\text{escoamento incompressível} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.í
Explicando rápido: \dfrac{\partial u}{\partial x} mede a taxa de variação da componente u na direção x (ou seja, quanto a velocidade horizontal muda quando me movo em x), e \dfrac{\partial v}{\partial y} mede a variação da componente v na direção y. A soma dessas taxas dá a taxa local de variação volumétrica bidimensional (expansão/contração).

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Tomando derivada parcial de
u=2 x^{2}+y^{2}-x^{2} y
em relação a x, tratando y como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 (pois y é constante aqui),
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2}y)=-2x\,y (produto: y é constante).
    Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=4x-2xy.

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{\partial v}{\partial y}. Primeiro escrevemos v de forma explícita:
v=x^{3}+x y^{2}-2xy.
Derivando parcialmente em relação a y (agora x é constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3})=0,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2xy,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x.
    Portanto
\frac{\partial v}{\partial y}=2xy-2x.

Passo 5

Somamos as derivadas parciais para obter a divergência:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=(4x-2xy)+(2xy-2x).
Agrupando termos semelhantes:
4x-2xy+2xy-2x=(4x-2x)+(-2xy+2xy)=2x+0=2x.
Portanto a divergência do campo é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=2x.

Passo 6

Interpretação e conclusão: a condição de incompressibilidade exige que a divergência seja zero em todo o domínio. Aqui a divergência é \,2x, que não é identicamente zero — depende de x. Só ao longo da reta \,x=0 a divergência se anula. Logo o escoamento NÃO é incompressível no domínio geral; ele é incompressível apenas sobre a linha x=0, mas não no restante do plano. Em termos físicos, para x>0 há expansão local ( \nabla\cdot\mathbf{v}>0), para x<0 há contração local ( \nabla\cdot\mathbf{v}<0).

Resposta

Não. \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=2x, que não é zero em geral (anula-se apenas em x=0).

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