(Valor
Considere o seguinte campo de velocidade em coordenadas cartesianas:
Equações:
Este escoamento é incompressível? Demonstre.
Passo 1
O enunciado fornece o campo de velocidade no plano com componentes:
A pergunta é: “Este escoamento é incompressível?” — ou seja, verificar se o campo de velocidade satisfaz a condição de incompressibilidade e demonstrar por quê.
Passo 2
Lembrete do que significa “incompressível” aqui: para um escoamento bidimensional (dependendo de
e
apenas e sem componente
em
) a condição de incompressibilidade é que a divergência do campo de velocidade seja nula em todo o domínio. Em fórmulas:
Explicando rápido:
mede a taxa de variação da componente
na direção
(ou seja, quanto a velocidade horizontal muda quando me movo em
), e
mede a variação da componente
na direção
. A soma dessas taxas dá a taxa local de variação volumétrica bidimensional (expansão/contração).
Passo 3
Vamos calcular
. Tomando derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante:
-
, -
(pois é constante aqui), -
(produto: é constante).
Logo
Passo 4
Agora calculemos
. Primeiro escrevemos
de forma explícita:
Derivando parcialmente em relação a
(agora
é constante):
-
, -
, -
.
Portanto
Passo 5
Somamos as derivadas parciais para obter a divergência:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a divergência do campo é
Passo 6
Interpretação e conclusão: a condição de incompressibilidade exige que a divergência seja zero em todo o domínio. Aqui a divergência é
, que não é identicamente zero — depende de
. Só ao longo da reta
a divergência se anula. Logo o escoamento NÃO é incompressível no domínio geral; ele é incompressível apenas sobre a linha
, mas não no restante do plano. Em termos físicos, para
há expansão local (
), para
há contração local (
).
Resposta
Não.
, que não é zero em geral (anula-se apenas em
).