Para um valor determinado de circulação Gamma, calcule a vorticidade azimutal deste escoamento através da seguinte fórmula:
Omega(r)=u(r)r+partial u(r)partial r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a vorticidade azimutal, Omega(r), de um escoamento sabendo o valor da circulação, Gamma. Estamos trabalhando com hidráulica ou dinâmica dos fluidos, especificamente com conceitos de circulação e vorticidade. Para resolver isso, vamos usar a fórmula fornecida:
Omega(r) = u(r)r + partial u(r)partial r

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a circulação, Gamma, se relaciona com a velocidade azimutal, u(r). A circulação é definida como a integral da velocidade tangencial ao longo de um caminho fechado. No caso de um escoamento circular, essa relação simplifica para:
Gamma = 2pi r u(r)

Passo 3

Agora, vamos isolar u(r) nessa equação para expressar a velocidade em função da circulação:
u(r) = Gamma2pi r

Passo 4

Com a expressão de u(r) em mãos, vamos calcular a derivada de u(r) em relação a r:
partial u(r)partial r = partialpartial r ( Gamma2pi r ) = -Gamma2pi r^2

Passo 5

Agora, vamos substituir u(r) e sua derivada na fórmula da vorticidade azimutal:
Omega(r) = Gamma2pi rr + ( -Gamma2pi r^2 )

Passo 6

Simplificando os termos:
Omega(r) = Gamma2pi r^2 - Gamma2pi r^2 = 0

Resposta

A vorticidade azimutal desse escoamento é zero.

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