Dê o valor de a para que o sistema
\left\{\begin{array}{l}a x+y+2=0 \\\\ 2 x-y+z-a=0 \quad \text { seja impossível. } \\\\ 4 x+y+a z+5=0\end{array}\right.í
Resposta:
a=-4 ou a=1

Passo 1

O enunciado pede o(s) valor(es) de a para que o sistema seja impossível, ou seja, não tenha solução. Esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas (x,y,z). Para verificar impossibilidade, vamos estudar o posto da matriz de coeficientes em função de a: quando ela fica singular (determinante zero) e o vetor dos termos independentes não estiver no espaço gerado pelas colunas, o sistema será impossível.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}, com
A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 4 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}-2\a\\\ -5\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de A:
\det(A) = a\begin{vmatrix}-1 & 1\\\ 1 & a\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 4 & a\end{vmatrix} = a(-a-1)-(2a-4) =-a^2 -a -2a +4 =-(a^2+3a-4) =-(a+4)(a-1).

Passo 3

O sistema só pode ser impossível se \det(A)=0, pois caso contrário A é invertível e há solução única. Assim,
\det(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad (a+4)(a-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-4\quad\text{ou}\quad a=1.

Passo 4

Para cada valor a=-4\) ou \(a=1\), a matriz fica singular. Basta verificar que, em ambos os casos, ao usar a primeira equação para expressar \(y\) e substituir nas outras duas, surge contradição. Por exemplo, para \(a=1\): \[\begin{cases} x+y=-2,\\\\ 2x - y + z = 1,\\\\ 4x + y + z = -5, \end{cases}
da primeira vem y=-2-x\]. Substituindo na segunda dá \(3x+z=-1, e na terceira dá 3x+z=-3, impossível. O mesmo ocorre para a=-4. Logo, para esses valores o sistema não tem solução.

Resposta

a=-4 ou a=1

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