Dê o valor de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+y+2=0 \\\\ 2 x-y+z-a=0 \\\\ 4 x+y+a z+5=0\end{array}\right. seja impossível.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e parâmetro \(a\): \[\begin{cases} a x + y + 2 = 0,\\[4pt] 2 x - y + z - a = 0,\\[4pt] 4 x + y + a z + 5 = 0. \end{cases}
O que nos pedem: encontrar os valores de (a] para os quais esse sistema é impossível (ou seja, não tem solução).
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{Equações:}\quad \begin{aligned} &(1)\quad a x + y = -2,\\\ &(2)\quad 2x - y + z = a,\\\ &(3)\quad 4x + y + a z = -5. \end{aligned}çõ
Variáveis: x,y,z. Parâmetro: a.
A definição de “sistema impossível” que usaremos: o sistema não admite nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): primeiro vamos analisar a matriz dos coeficientes do sistema. Se essa matriz for invertível (determinante não nulo) o sistema tem solução única e, portanto, é possível. Se o determinante for zero a matriz é singular e o sistema pode ser ou impossível ou ter infinitas soluções; então, quando o determinante for zero precisamos verificar se ocorre uma contradição (linha com 0x+0y+0z = número não nulo) — isso caracteriza impossibilidade. Justificativa curta do método: para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b}, se \det(A)\neq0 então existe \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} (solução única); se \det(A)=0 a existência depende de \mathbf{b} (pode não existir).

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes:
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 4 & 1 & a \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt] a\\[4pt] -5\end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante \det(A). Lembre: se A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}, então a expansão na primeira linha dá
\det(A)=a_{11}\,(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}\,(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}\,(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=a,\\ a_{12}=1,\\ a_{13}=0, etc.]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso A:
\det(A)=a\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 4 & a\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & a\end{pmatrix}=(-1)\cdot a - 1\cdot 1 = -a-1,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 4 & a\end{pmatrix}=2\cdot a - 1\cdot 4 = 2a-4.
Portanto
\det(A)=a(-a-1)-(2a-4) = -a^2 - a -2a +4 = -a^2 -3a +4.
Fatorando:
\det(A) = -(a^2+3a-4)=-(a+4)(a-1).]

Passo 5

Conclusão intermediária: \det(A)\neq0 para todos os a exceto a=1 e a=-4. Logo, para a\notin\{1,-4\} o sistema tem solução única (é possível). Assim só precisamos testar os dois casos a=1 e a=-4 para ver se o sistema fica impossível (contradição) ou tem infinitas soluções.

Passo 6

Caso a=1\). Substituímos nas equações (pegando \(a=1\) das equações do enunciado): \[\begin{cases} x + y = -2,\\[4pt] 2x - y + z = 1,\\[4pt] 4x + y + z = -5. \end{cases}
Da primeira equação: y=-2-x\]. Substituindo na segunda: \[2x -(-2-x) + z = 1 \;\Rightarrow\; 2x+2+x+z=1 \;\Rightarrow\; 3x+z = -1,\] logo \(z=-1-3x. Agora substituímos y e z na terceira equação:
4x + (-2-x) + (-1-3x) = -5.
Calculando o lado esquerdo:
4x -2 -x -1 -3x = (4x-x-3x) + (-3) = 0\cdot x -3 = -3.
Isso dá -3 = -5, que é uma contradição (falso). Portanto, para a=1 o sistema é impossível.]

Passo 7

Caso a=-4\). Substituímos \(a=-4\) nas equações: \[\begin{cases} -4x + y = -2,\\[4pt] 2x - y + z = -4,\\[4pt] 4x + y -4z = -5. \end{cases}
Da primeira equação: y=-2+4x\]. Substituímos na segunda: \[2x -(-2+4x) + z = -4 \;\Rightarrow\; 2x+2-4x+z=-4 \;\Rightarrow\; -2x+z=-6,\] logo \(z=-6+2x. Agora substituímos y e z na terceira equação:
4x + (-2+4x) -4(-6+2x) = -5.
Calculando o lado esquerdo:
4x-2+4x +24 -8x = (4x+4x-8x) + 22 = 0\cdot x +22 = 22.
Isso dá 22 = -5, outra contradição. Portanto, para a=-4 o sistema também é impossível.]

Passo 8

Resumo e interpretação: os únicos valores de a que tornam a matriz de coeficientes singular são a=1 e a=-4. Em ambos esses casos a substituição nas equações levou a uma igualdade impossível (contradição), então o sistema não tem solução para a=1 nem para a=-4. Para qualquer outro a o determinante é não nulo e o sistema tem solução única.

Passo 9

Resposta: O sistema é impossível para a=1 e a=-4.

Resposta

a=1
a=-4

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